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Enunciado

Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

j) f x = x 2 x - 1

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = x 2 x - 1

f ' x = 2 x . x - 1 - x 2 . 1 x - 1 2

f ' x = 2 x 2 - 2 x - x 2 x - 1 2 = x 2 - 2 x x - 1 2

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do quociente para derivar f , tudo bem? Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 .

f ' x > 0 ⇒ x 2 - 2 x x - 1 2 > 0

x 2 - 2 x > 0

x x - 2 > 0

Aqui temos que as raízes da função são 0 e 2 , certo? Sendo assim, temos que analisar a função para quando x tende a estes valores pela esquerda e pela direita, jóia? Não precisamos nos preocupar com o denominador porque ele sempre será positivo por conta do quadrado, sendo assim:

À esquerda de x = 0 temos que f ' x > 0 ;

À direita de x = 0 temos que f ' x < 0 ;

À esquerda de x = 2 temos que f ' x < 0 ;

À direita de x = 2 temos que f ' x > 0 .

Como fizemos essa análise? Uma maneira eficaz é adotar um valor de x qualquer à direita e à esquerda das raízes da função e ver se a função dá positiva ou negativa. Como são vários intervalos, podemos reescreve-los da seguinte forma:

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) e ( 2 ,   + ∞ ) ;

Intervalos decrescentes: ( 0 ,   1 ) ∪ ( 1 ,   2 ) .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

Se observamos o gráfico, notaremos que, de fato, a solução algébrica que chegamos faz sentido! À esquerda de x = 0 a derivada é positiva, à direita de x = 0 a derivada é negativa, à esquerda de x = 2 a derivada é negativa e, por ifm, à direita de x = 2 a derivada é positiva, assim como concluímos no passo 2 .

E essa é a nossa análise, galeris!

Resposta

Intervalos crescentes: ( - ∞ ,   0 ) e ( 2 ,   + ∞ ) ;

Intervalos decrescentes: ( 0 ,   1 ) ∪ ( 1 ,   2 ) .

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