Enunciado

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Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. Fazer um esboço do gráfico, comparando os resultados.

i) f x = x e - x

Passo 1

Então pessoal, caso não se lembrem, por definição uma função é crescente se ela for contínua em um intervalo [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e, por fim, se apresenta f ' x > 0 .

Por definição uma função é decrescente se ela for contínua em um intervlao [ a ,   b ] , derivável nesse mesmo intervalo e ,por fim, se apresenta f ' x < 0 . Essas são as definições para intervalos crescentes e decrescentes de uma função e basta apenas isso e um pouco de intuição para resolvermos o problema, tudo jóia? Então bora lá!

Passo 2

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

f x = x e - x

f ' x = 1 . e - x - x . e - x . ln ⁡ e

f ' x = e - x 1 - x = 1 - x e x

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do produto para fazer essa derivada, tudo bem? Agora que descobrimos a derivada da nossa função, vamos fazer a análise para quando f ' x > 0 e quando f ' x < 0 .

f ' x > 0 ⇒ 1 - x e x > 0

1 - x > 0

x < 1

Sendo assim, como para todo x < 1 a função é crescente, então para todo x > 1 a função é decrescente, o que faz sentido, uma vez que para x > 1 o numerador resultará em um número negativo, enquanto o denominador sempre será positivo! Dessa forma, nossa conclusão é que:

Intervalos crescentes: - ∞ ,   1 ;

Intervalos decrescentes: ( 1 ,   + ∞ ) .

Passo 3

Se esboçarmos o gráfico da função, teremos:

E se observarmos o gráfico, notaremos que, de fato, o nosso resultado é satisfatório! À esquerda de x = 1 a função é crescente, enquanto à direita de x = 1 a função é decrescente, assim como concluímos!

Resposta

Intervalos crescentes: - ∞ ,   1 ;

Intervalos decrescentes: ( 1 ,   + ∞ ) .

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