Enunciado

Demonstre, pela definição de derivada, que se f ( x ) = cos ⁡ x , então f ' ( x ) = - sin ⁡ x .

Passo 1

Fala aí! como vai?

O enunciado pede que usemos a definição de derivada para mostrar que

cos ⁡ x ' = - sin ⁡ x

Lembra como fazemos isso?

Relembrando a definição de derivada de uma função:

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h )   -   f ( x ) h

Usando que f ( x ) = c o s   x , temos que

f ' ( x ) = l i m h → 0 c o s   ( x + h )   -   c o s   x h

Vamos precisar também do limite fundamental:

l i m x → 0 s e n   x x   =   1

Veja só!

Passo 2

Para calcular o limite, devemos primeiro abrir cos ⁡ x + h = cos ⁡ x cos ⁡ h - sin ⁡ x sin ⁡ h .

Assim,

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x + h - cos ⁡ x h = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - sin ⁡ x sin �� h - cos ⁡ x h

Colocando cos ⁡ x em evidência onde for possivel, vamos obter

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 - sin ⁡ x sin ⁡ h h

Note que o limite é tomado na variável h , então podemos tirar termos que só dependem de x do limite.

Separando os limites pela regra da soma:

f ' x = l i m h → 0 cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - l i m h → 0 sin ⁡ x sin ⁡ h h

f ' x = cos ⁡ x l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ x l i m h → 0 sin ⁡ h h

Para calcular o primeiro limite, vamos multiplicar em cima e em baixo por cos ⁡ h + 1 :

l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h · cos ⁡ h + 1 cos ⁡ h + 1 = l i m h → 0 cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1

Como sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ h - 1 = - sin 2 ⁡ h , o limite fica

l i m h → 0 cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1 = l i m h → 0   - - sin 2 ⁡ h h cos ⁡ h + 1

Assim podemos reescrever o limite como

  -   l i m h → 0 sin ⁡ h h   sin ⁡ h 1   + cos ⁡ h

Separando os limites

l i m h → 0 cos 2 ⁡ h - 1 h cos ⁡ h + 1 =   - l i m h → 0 sin ⁡ h h     l i m h → 0   sin ⁡ h 1   + cos ⁡ h  

O primeiro é o limite fundamental e será igual a 1 . Já o segundo se anulará, de modo que

l i m h → 0   sin ⁡ h 1   + cos ⁡ h = sin ⁡ 0 1   + cos ⁡ 0 = 0

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l i m h → 0 c o s   h   -   1 h = - 1 0 = 0

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Assim, voltando para a equação que nos vais dar f ' x :

f ' x = cos ⁡ x l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h - sin ⁡ x l i m h → 0 sin ⁡ h h

No passo anterior vimos que l i m h → 0 cos ⁡ h - 1 h = 0 e l i m h → 0 sin ⁡ h h = 1 , ou seja

f ' x = cos ⁡ x 0 - sin ⁡ x 1

f ' x = - sin ⁡ x

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

Demonstração.

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