Enunciado

19-24. Encontre (d^2 y)/(d x^2) .

20. y = c o s s e c x

Passo 1

Então galera, a princípio o que seria encontrar (d^2 y)/(d x^2) ? Essa notação significa que devemos derivar a função que nos foi dada duas vezes, ou seja, derivar y para encontrarmos y^' e depois derivar y ' para encontrarmos y^(' ') , ou melhor, (d^2 y)/(d x^2) . Show!

Ademais, caso precisemos, a seção 5 do Anton já nos cede o resultado de algumas derivadas trigonométricas. Então sempre que aparecer uma função trigonométrica pra gente, basta olharmos o resultado de sua derivada aqui ↓!

(d)/(d x)(s e n x)=cos x (d)/(d x)(cos x)=-senx (d)/(d x)(t g x)=sec^2 x

(d)/(d x)(sec x)=sec x.tgx (d)/(d x)(c o t g x)=-cossec^2x

(d)/(d x)(c o s s e c x)=-cossecx.cotgx

Então vamo que vamo!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

y = c o s s e c x

Aqui não devemos utilizar nenhuma regra, pois se trata de uma função cuja derivada é bem conhecida! Consultando a tabelinha do passo 1 teremos que o resultado será:

y^' = - c o s s e c x . c o t g x

Encontramos y^' , agora vamos encontrar y^(' ') !

Passo 3

Note que na nossa derivada aparece um produto entre duas funções, não é mesmo? Sendo assim, então devemos utilizar a regra do produto, que é a seguinte:

y = u . v

y^' = u^' . v + u . v^'

No nosso caso, temos:

u = c o s s e c x

u^' = - c o s s e c x . c o t g x

v = c o t g x

v^' = - c o s s e c^2 x

Substituindo na regrinha, teremos:

y^(' ') = - (- c o s s e c x . c o t g x . c o t g x - c o s s e c x . c o s s e c^2 x)

Simplificando:

(d^2 y)/(d x^2) = c o s s e c x {c o t g^2 x + c o s s e c^2 x}

E essa é a nossa derivada segunda, galera! 😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = c o s s e c x {c o t g^2 x + c o s s e c^2 x}

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(b) Use as Fórmulas (3) e (4) para obter (7).
Seja f x = cos ⁡ x . Encontre todos os inteiros positivos n com os quais f n x = s e nx .
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = 1 s e nx cos ⁡ x
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = t gx
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.