Demonstre a Equação 4.

Passo 1

Falaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para a gente demonstrar a seguinte equação:

c o s h - 1 x = ln ⁡ ( x + x ² - 1 )  

Para a gente fazer isso, vamos usar essas identidades:

c o s h ²   x - s e n h 2 x = 1

c o s h   x + s e n h   x = e x

Agora bora lá!!

Passo 2

Substituindo x por y:

c o s h ²   y - s e n h 2 y = 1

c o s h   y + s e n h   y = e y

Se isolarmos o cseno da primeira relação:

s e n h ²   y = 1 - c o s h 2 y

Tiramos a raiz:

s e n h   y = 1 - c o s h 2 y

Passo 3

Usando as propriedades do inverso do cosseno podemos chamar:

y = c o s h - 1 x

Sendo assim:

c o s h   y = x

Substituindo na equação do passo 1:

s e n h   y = 1 - x ²

Agora só precisamos substituir estes dados na relação do Exercício 9:

1 - x ² + x = e y

Para retirar o y elevado ao expoente aplicamos ln dos dois lados:

ln ⁡ e y = ln ⁡ ( 1 - x ² + x )

y = ln ⁡ ( 1 - x ² + x )

Reorganizando:

c o s h - 1 x = ln ⁡ ( 1 - x ² + x )

Certinho?!

Resposta

Demonstração

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