Demonstre a fórmula 6 do Teorema 3.

(d/dt)[u(f(t))] = f'(t)u'(f(t))

Passo 1

Tomaremos

u t = [ u 1 f ( t ) ,   u 2 f ( t ) ,   u 3 f ( t ) ]

Aplicando o Teorema 2, ou seja, derivando as componentes da função vetorial composta temos:

d d t u f ( t ) = d d t u 1 f t , d d t u 2 f t , d d t u 3 f t  

Passo 2

Como as componentes de u ( t ) , são funções escalares, podemos aplicar a regra da cadeia usual para derivá-las. Assim temos:

d d t u f t = f ' t u ' 1 f t ;   f ' t u ' 2 f t ;   f ' t u ' 3 f t

Passo 3

Colocando a função f ' ( t ) em evidência aplicando a propriedade de distributividade do produto de um escalar por um vetor temos:

d d t u f t = f ' t u ' 1 f t ;   u ' 2 f t ;   u ' 3 f t

Ou seja,

d d t u f t = f ' t u ' f ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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