Enunciado

Torção de uma hélice - Mostre que a torção de uma hélice

r t = a cos ⁡ t i + a sen ⁡ t j + b t k ,     a , b ≥ 0

É τ = b ( a 2 + b 2 ) . Qual é o maior valor que t pode ter para um determinado valor de a? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como se diz para um certo valor de a , buscaremos o valor de b maximizando τ . Portanto, resolveremos a equação d d b τ = 0 para b para encontrar o maior valor de τ alterando b, como segue

d τ d b = 0

Vamos supor que τ = b ( a 2 + b 2 ) , nós temos que

d d b b a 2 + b 2 = 0

Como estamos derivando em relação a b , temos que

1 a 2 - 1 b 2 = 0 → b 2 - a 2 b 2 a 2 = 0

Logo, temos que

b = ± a → b = a ,     ( 0 < b < a )

Para b = a , o τ m á x é igual a

τ m á x = 1 2 a

Resposta

τ m á x = 1 2 a

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre r (t) se r^' (t) = t i + e^t j + t e^t k e r (0) = i + j + k .
Demonstre a fórmula 1 do Teorema 3.(d)/(d t) [f ( t ) u (t)] = f^' (t) u (t) + f (t) u ' ( t )
Calcule a integral.int_0^1 ((4)/(1 + t^2) j + (2 t)/(1 + t^2) k) d t
Calcule a integral.int_0^(pi // 2) (3 s e n^2 t cos t i + 3 s e n t cos^2 t j + 2 s e n t cos t k) d t
Encontre r (t) se r^' (t) = 2 t i + 3 t^2 j + sqrt(t) k e r (1) = i + j .