Enunciado

Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y = m x + b , pelo menos aproximadamente, para algum valor de m e de b . O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos x 1 ,   y 1 ,   x 2 ,   y 2 ,   … ,   x n , y n , e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes m e b para que a reta y = m x + b “ajuste” os pontos tanto quanto possível (veja a figura).

Seja d i = y i - m x i + b o desvio vertical do ponto x i , y i da reta. O método dos mínimos quadrados determina m e b de modo a minimizar ∑ i = 1 n d i 2 , a soma dos quadrados dos desvios. Mostre que, de acordo com esse método, a reta de melhor ajuste é obtida quando

m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i

m ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i

Assim, a reta é determinada resolvendo esse sistema linear de duas equações nas incógnitas m

e b . (Veja a Seção 1.2 do Volume I para mais aplicações do método dos mínimos quadrados.)

Passo 1

Note que aqui as variáveis são m e b , e a função que queremos minimizar é:

f = ∑ i = 1 n d i 2

Mas, como d i = y i - m x i + b , teremos:

f m ,   b = ∑ i = 1 n y i - m x i + b 2

Passo 2

Show! Agora vamos determinar a derivada parcial de f em relação a m e igualá-la a 0 :

f m = ∑ i = 1 n - 2 x i   y i - m x i + b   = 0

∑ i = 1 n   x i y i - m x i 2 - b x i   = 0

m ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i

Com isso, acabamos de mostrar a segunda equação que o enunciado nos pediu.

Passo 3

Agora, para mostrar a primeira equação, vamos determinar a derivada parcial de f em relação a b e igualá-la a 0 :

f b = ∑ i = 1 n - 2   y i - m x i + b   = 0

∑ i = 1 n y i - m x i - b   = 0

m ∑ i = 1 n x i + b n = ∑ i = 1 n y i

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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