Enunciado

57. a) Prove que o polinômio cúbico geral:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d   a ≠ 0

Tem exatamente um ponto de inflexão.

b) Prove que, se o polinômio cúbico tiver três cortes com o eixo x , o ponto de inflexão ocorre no valor médio dos cortes.

c) lUse o resultado de b) para encontrar o ponto de inflexão do polinômio cúbico f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x   e verifique seu resultado usando f ' ' para determinar onde f é côncava para cima e para baixo.

Passo 1

a) Para encontrarmos os pontos de inflexão de uma função qualquer devemos igualar a derivada segunda da função a zero, galera! Nossa função é a seguinte:

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d   a ≠ 0

Derivando pela primeira vez:

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

Pela segunda vez agora:

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Por fim, igualando a zero:

6 a x + 2 b = 0

x = - b 3 a

E provamos que, de fato, só há um valor de x que apresenta inflexão na função em questão!

Passo 2

b) Então pessoal, se o polinômio cúbico tiver três cortes com o eixo x podemos reescrever nossa função f como:

f x = a . x - x 1 . x - x 2 . x - x 3

Que é a forma fatorada da nossa função. Ademais, x 1 ,   x 2 e x 3 são os pontos no qual a função corta o eixo x . Desse formato podemos tirar que:

b = - a . x 1 + x 2 + x 3

De acordo com a letra a) o ponto de inflexão ocorre em:

x = - b 3 a

Dessa forma, teremos que:

- b a = x 1 + x 2 + x 3

Dividindo tudo por 3 :

- b 3 a = 1 3 x 1 + x 2 + x 3

E assim provamos que, de fato, o ponto de inflexão ocorre no valor médio dos cortes.

Passo 3

c) Então pessoal, a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x  

Podemos reescreve-la como:

f x = x x 2 - 3 x + 2

f x = x . x - 1 . x - 2

E se igualarmos a zero, teremos:

x . x - 1 . x - 2 = 0

x = 0 ,   x = 1   o u   x = 2

E essas são as raízes da nossa função, certo? Então bora continuar!

Passo 4

Agora que temos as três raízes podemos utilizar o resultado da letra b). Dessa forma, o ponto de inflexão está em:

x = 1 3 x 1 + x 2 + x 3 = 1 3 0 + 1 + 2

x = 1

Ok, encontramos nosso ponto de inflexão. Para provar isso o enunciado quer que utilizemos f ' ' para determinar a concavidade da função que nos foi dada, então é isso que faremos! Derivando duas vezes, teremos:

f ' x = 3 x 2 - 6 x + 2

f ' ' x = 6 x - 6 = 6 x - 1

Igualando a zero:

6 x - 1 = 0

x = 1

Assim como encontramos anteriormente! A função tem concavidade para cima quando:

6 x - 1 > 0

x > 1

E tem concavidade para baixo quando:

6 x - 1 < 0

x < 1

Com o resultado fica claro que, de fato, x = 1 é o momento em que a função muda de concavidade!

E está aí nossa análise completa da questão, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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