Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 91-112.

Passo 1

Como o enunciado nos dá uma equação diferencial de 4ª ordem, deve-se fazer a integral da mesma quatro vezes e, no resultado de cada uma delas, aplicar os valores de condição inicial para encontrar o valor das constantes que irão surgir no resultado de cada integral indefinida.

O resultado da quarta integral irá nos dar a função primitiva da derivada de quarta ordem, na qual podemos substituir os últimos valores da condição inicial a fim de encontrarmos a equação desejada.

Passo 2

Portanto,

y ( 4 ) = - s e n   t + cos ⁡ t

y ' ' ' = ∫ - s e n   t + cos ⁡ t d t = cos ⁡ t + s e n   t + C 1

Passo 3

O exercício nos dá uma condição inicial na qual diz que y ' ' ' = 7 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da primeira constante e, assim, descobrir a equação que representa a terceira derivada. Logo:

y ' ' ' = cos ⁡ t + s e n   t + C 1

7 = cos ⁡ 0 + s e n 0 +   C 1 ∴   C 1 = 6

Então, a equação da terceira derivada é y ' ' ' = cos ⁡ t + s e n   t + 6 .

Passo 4

Em seguida, deve-se integrar novamente para encontrar a equação da segunda derivada:

y ' ' ' = cos ⁡ t + s e n   t + 6

y ' ' = ∫ cos ⁡ t + s e n   t + 6 d t = s e n t - c o s t + 6 t + C 2

Passo 5

O exercício nos dá uma segunda condição inicial na qual diz que y ' ' = - 1 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da segunda constante e, assim, saber qual é a equação da segunda derivada. Logo:

y ' ' = s e n t - c o s t + 6 t + C 2

- 1 = s e n 0 - cos ⁡ 0 + 6 0 + C 2 ∴ C 2   = 0

Então, a equação da segunda derivada é y ' ' = s e n t - c o s t + 6 t .

Passo 6

Mais uma vez, deve-se fazer a integral:

y ' ' = s e n t - c o s t + 6 t

y ' = ∫ s e n t - c o s t + 6 t d t = - c o s t - s e n t + 3 t 2 + C 3

Passo 7

Neste passo, aplicamos a próxima condição inicial na qual diz que y ' = - 1 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da terceira constante e, assim, saber qual é a primeira derivada. Logo:

y ' = - c o s t - s e n t + 3 t 2 + C 3

- 1 = - cos ⁡ 0 - s e n 0 + 3 0 2 + C 3 ∴ C 3   = 0

Então, a primeira derivada é y ' = - c o s t - s e n t + 3 t 2 .

Passo 8

Finalmente, deve-se fazer a última integral:

y ' = - c o s t - s e n t + 3 t 2

y = ∫ - c o s t - s e n t + 3 t 2 d t = - s e n t + cos ⁡ t + t 3 + C 4

Passo 9

Neste passo, aplicamos a última condição inicial na qual diz que y = 0 quando t = 0 . Com esses valores é possível descobrir o valor da quarta constante e, assim, saber qual é a função desejada. Logo:

y = - s e n t + cos ⁡ t + t 3 + C 4

0 = - s e n 0 + cos ⁡ 0 + 0 3 + C 4 ∴ C 4   = - 1

Então, a equação desejada é y = - s e n t + cos ⁡ t + t 3 - 1 .

Resposta

A solução do P.V.I. é y = - s e n t + cos ⁡ t + t 3 - 1 .

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