Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

r o t   F → + G → = r o t   F → + r o t   G →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que os campos vetoriais F → e G → são dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

G → = G 1 i → + G 2 j → + G 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora o que o rotacional de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto vetorial com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ × v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z a b c = i → ∂ ∂ y c - ∂ ∂ z b + j → ∂ ∂ z a - ∂ ∂ x c + k → ∂ ∂ x b - ∂ ∂ y a

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

No nosso caso o vetor v → é a soma de outros dois vetores

v → = F → + G → = ( F 1 + G 1 ;   F 2 + G 2 ;   F 3 + G 3 )

Agora vamos fazer o rotacional dessa soma de vetores.

Passo 3

Agora vamos aplicar a operação que definimos no passo 2 .

∇ × F → + G → = i → ∂ ∂ y ( F 3 + G 3 ) - ∂ ∂ z ( F 2 + G 2 ) + j → ∂ ∂ z F 1 + G 1 ∂ ∂ x ( F 3 + G 3 ) + k → ∂ ∂ x ( F 2 + G 2 ) - ∂ ∂ y ( F 1 + G 1 )

Passo 4

Uma propriedade importante de lembrar das derivadas é que a soma das derivadas é a derivada das somas, sendo assim podemos abrir os termos dos parênteses e organizar as componentes por campo vetorial. Saca só:

∇ × F → + G → = i → ∂ ∂ y F 3 - ∂ ∂ z F 2 + ∂ ∂ y G 3 - ∂ ∂ z G 2 + j → ∂ ∂ z F 1 - ∂ ∂ x F 3 + ∂ ∂ z G 1 - ∂ ∂ x G 3 + k → ∂ ∂ x F 2 - ∂ ∂ y F 1 + ∂ ∂ x G 2 - ∂ ∂ y G 1

Assim o primeiro parêntese de cada linha representam as componentes de ∇ × F → , enquanto o segundo, ∇ × G → . Daí temos:

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

Bem como queríamos demonstrar =D

Vamos pra próxima?

Resposta

∇ × F → + G → = ∇ × F → + ∇ × G →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

8 ) Seja V( x ,y )=x 2+y 2 . Desenhe um campo F(x, y) para o qual setenha ∇V( x ,y ) ·F ( x ,y )≤0 .
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t c
9 ) Sejam V e F como no exercício anterior. Seja γ( t )=( x( t ) ,y( t ) ) , t ∈ I, uma curva tal que, para todo t no intervalo I, γ ’ ( t )= F( γ( t ) ) . Prove queg( t )=V( γ( t ) ) é decrescente em
7 ) Seja F =∇f , onde f (x, y z) = x + y + z. Desenhe F(x, y, z), com x+ y + z = 1, x0, y0 e z0
O campo vetorial dado é conservativo? Justifique. e )F → x , y , z = x i → + y j → + z k →