Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 24
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que os campos vetoriais e são dessa forma aqui ó:
Ok?
Passo 2
Vamos ver agora o que o rotacional de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto vetorial com um vetor qualquer opera assim ó:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
No nosso caso o vetor é a soma de outros dois vetores
Agora vamos fazer o rotacional dessa soma de vetores.
Passo 3
Agora vamos aplicar a operação que definimos no passo .
Passo 4
Uma propriedade importante de lembrar das derivadas é que a soma das derivadas é a derivada das somas, sendo assim podemos abrir os termos dos parênteses e organizar as componentes por campo vetorial. Saca só:
Assim o primeiro parêntese de cada linha representam as componentes de , enquanto o segundo, . Daí temos:
Bem como queríamos demonstrar =D
Vamos pra próxima?