Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 25
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que o campo vetorial é dessa forma aqui ó:
Ok?
Passo 2
Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor qualquer opera assim ó:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Passo 3
Legal! O próximo passo é saber quem é . Sendo uma função escalar, então ela multiplica cada componente de :
Agora vamos fazer seguindo o que definimos no passo
Passo 4
Agora vamos aplicar a regra do produto para cada derivada:
Parece enorme, mas calma! Agora no lado direito vamos agregar o termos (que estão multiplicados por ) e os termos
O primeiro parêntese do lado direito, se colocarmos em evidência e compararmos com o passo vamos ver que representa o valor de .
Já o segundo parêntese, se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar é
Então podemos identificar como o produto escalar do vetor com o vetor . Assim temos:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D
Resposta
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