Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   f F → = f   d i v   F → +   F → ⋅ ∇ f

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que o campo vetorial F → é dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Legal! O próximo passo é saber quem é f F → . Sendo f uma função escalar, então ela multiplica cada componente de F → :

f F → = f F 1 i → + f F 2 j → + f F 3 k →

Agora vamos fazer ∇ ⋅ f F → seguindo o que definimos no passo 2 :

∇ ⋅ f F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ f F 1 , f F 2 , f F 3

= ∂ ∂ x ( f F 1 ) + ∂ ∂ y ( f F 2 ) + ∂ ∂ z ( f F 3 )

Passo 4

Agora vamos aplicar a regra do produto para cada derivada:

∇ ⋅ f F → = f ∂ ∂ x F 1 + F 1 ∂ ∂ x f + f ∂ ∂ y F 2 + F 2 ∂ ∂ y f + f ∂ ∂ z F 3 + F 3 ∂ ∂ z f

Parece enorme, mas calma! Agora no lado direito vamos agregar o 1 º ,   3 º   e   5 º termos (que estão multiplicados por f ) e os termos 2 º ,   4 º   e   6 º

∇ ⋅ f F → = f ∂ ∂ x F 1 + f ∂ ∂ y F 2 + f ∂ ∂ z F 3 + F 1 ∂ ∂ x f + F 2 ∂ ∂ y f + F 3 ∂ ∂ z f

O primeiro parêntese do lado direito, se colocarmos f em evidência e compararmos com o passo 2 vamos ver que representa o valor de f ∇ ⋅ F → .

Já o segundo parêntese, se lembrarmos que o gradiente de uma função escalar f é

∇ f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então podemos identificar como o produto escalar do vetor F → com o vetor ∇ f . Assim temos:

∇ ⋅ f F → = f ∇ ⋅ F → + F → ⋅ ∇ f

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ ⋅ f F → = f ∇ ⋅ F → + F → ⋅ ∇ f

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule c )∫ γ - y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2d y Onde γ :0,1 → R ² ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no semiplano y0 tal que γ 0 = 1,1 eγ 1 = - 2,3
Calcule f )∫ γ - y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2d y Onde γ t: 0,1 → R ² ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no conjunto Ω =x , y ∈ R 2 y0 }∪ x , y ∈ R 2 x0 }\γ ( 0 ) = ( 1,1 )eγ ( 1 ) = (- 1
Calcule b )∫ γ yd x + x 2d y Onde γ é uma curva cuja imagem é o segmento de extremidades (1,1) e (2,2) , orientada de (1,1) para (2,2)
Calcule d )∫ ( - 1,0 ) ( 1,0 ) x x 2 + y 2d x + y x 2 + y 2d y
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t e