Enunciado

Seja vec r = x vec i + y vec j + z vec k e r = | r | . Verifique as identidades:

  1. grad r = vec r // r
  2. grad xx vec r = 0
  3. grad ((1)/(r)) = - vec r // r^3
  4. grad ln r = vec r // r^2

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos lembrar qual operação o gradiente de uma função escalar b faz:

grad b = (del b)/(del x) vec i + (del b)/(del y) vec j + (del b)/(del z) vec k

Ok?

Agora aplicando no módulo de vec r :

grad r = (del)/(del x) (sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec i (del)/(del y) (sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec j + (del)/(del z) (sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec k

Fazendo as derivadas parciais temos:

grad r = (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec i + (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec j + (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) vec k

Saca só, no numerador temos as componentes do vetor vec r e no denominador temos o módulo de vec r :

grad r = (vec r)/(r)

Beleza, vamos pra próxima?

Passo 2

Vamos ver agora o que o rotacional faz em um vetor qualquer. Quando está com produto vetorial com um vetor vec v ( a , b , c ) , grad opera assim:

grad xx vec v = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[a,b,c]]| = vec i ((del)/(del y) c - (del)/(del z) b) + vec j ((del)/(del z) a - (del)/(del x) c) + vec k ((del)/(del x) b - (del)/(del y) a)

Agora vamos aplicar isso ao vetor vec r :

grad xx vec r = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[x,y,z]]| = vec i ((del)/(del y) z - (del)/(del z) y) + vec j ((del)/(del z) x - (del)/(del x) z) + vec k ((del)/(del x) y - (del)/(del y) x)

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Então:

grad xx vec r = vec 0

Show! Vamos pra a terceira demonstração?

Passo 3

Do passo 1 vamos resgatar o gradiente de uma função e aplicar a 1 // r :

grad ( 1 // r ) = (del)/(del x) ((1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))) vec i (del)/(del y) ((1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))) vec j + (del)/(del z) ((1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))) vec k

Fazendo as derivadas parciais e lembrando de que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação, temos:

grad ((1)/(r)) = [(- x)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] vec i + [(- y)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] vec j + [(- z)/((x^2 + y^2 + z^2)^((3)/(2)))] vec k

Mas sabemos que r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) , então r^3 = (x^2 + y^2 + z^2)^(3 // 2) e no numerador temos o negativo do vetor vec r , então:

grad ((1)/(r)) = - vec r // r^3

Ufa! Vamos pra última?

Passo 4

Do passo 1 vamos resgatar o gradiente de uma função e aplicar a l n r :

grad ( l n r ) = (del)/(del x) (l n ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) )) vec i (del)/(del y) (l n ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) )) vec j + (del)/(del z) (l n ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) )) vec k

Fazendo as derivadas parciais, temos:

grad (l n r) = [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . (x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] vec i + [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . (y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] vec j + [(1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . (z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))] vec k

grad (l n r) = [(x)/(x^2 + y^2 + z^2)] vec i + [(y)/(x^2 + y^2 + z^2)] j + [(z)/(x^2 + y^2 + z^2)] vec k = vec r // r^2

Pronto! Terminamos! Vamos pro próximo exercício?

Resposta

( a ) grad r = (vec r)/(r)

( b ) grad xx vec r = vec 0

( c ) grad ((1)/(r)) = - vec r // r^3

( d ) grad (l n r) = vec r // r^2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

8. Sejam F 1 ( x , y ) e F 2 x , y funções reais de classe C 1 em U = R 2 - A , B (A e B como na figura 6.18) tais que ∂ F 1 ∂ y= ∂ F 2 ∂ x Em U. Sendo C 1 ,C 2 , C 3 as curvas dadas na figura 6.18. C
9. Seja D a região do plano xy limitada pelas circunferências C 1 e C 2 de equações x 2 + y 2 = 1 E x 2 + y 2 = 25 Respectivamente. Se F 1 x , y e F 2 x , y são de classe C 1 em D e ∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1
10. Calcule ∮ c - y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y Onde C é a curva definida por y 2 = 2x + 2 - 2 ≤ x ≤ 2 orientada no sentido descrente de y
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . a ) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho. b ) Calcule o valor da integral de A = 0 ,0 a B =
Calcule ∮ C y x 2 d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde C é a curva dada pela equação x 2 4 + y - 1 3 2 = 1 , percorrida no sentido anti-horário.