Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 31
Seja e . Verifique as identidades:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos lembrar qual operação o gradiente de uma função escalar faz:
Ok?
Agora aplicando no módulo de :
Fazendo as derivadas parciais temos:
Saca só, no numerador temos as componentes do vetor e no denominador temos o módulo de :
Beleza, vamos pra próxima?
Passo 2
Vamos ver agora o que o rotacional faz em um vetor qualquer. Quando está com produto vetorial com um vetor , opera assim:
Agora vamos aplicar isso ao vetor :
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Então:
Show! Vamos pra a terceira demonstração?
Passo 3
Do passo vamos resgatar o gradiente de uma função e aplicar a :
Fazendo as derivadas parciais e lembrando de que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação, temos:
Mas sabemos que , então e no numerador temos o negativo do vetor , então:
Ufa! Vamos pra última?
Passo 4
Do passo vamos resgatar o gradiente de uma função e aplicar a :
Fazendo as derivadas parciais, temos:
Pronto! Terminamos! Vamos pro próximo exercício?
Resposta
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