1. Calcule

d )   ∫ ( - 1,0 ) ( 1,0 ) x x 2 + y 2   d x + y x 2 + y 2   d y

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = ∇ ϕ

Logo nossa integral de linha fica

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

∇ × F = 0

Passo 2

Vamos provar que essa função admite Potencial

Nossa função F x , y = ( x x 2 + y 2   ,   y x 2 + y 2   ) . Quando dizemos que

F = ∇ ϕ

Implica que

F x , y = d d x ϕ , d d y ϕ

Vamos descobrir ϕ  

d d x ϕ = x x 2 + y 2

ϕ = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2 + Γ y

Vamos descobrir se existe alguma função dependente exclusivamente de y

d d y ϕ = y x 2 + y 2

ϕ = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Logo como encontramos a mesma função logo nossa função potencial é

ϕ = 1 2 ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 3

∫ A B F ⋅ d r =   ∫ A B ∇ ϕ ⋅ d r =     ϕ B - ϕ A

Agora so nos resta aplicar os pontos em ϕ . O enunciado nos diz

∫ - 1,0 1,0 x x 2 + y 2   d x + y x 2 + y 2   d y

Isso implica que nosso b = 1,0 e também que a = - 1,0 . Vamos calcular nossa função potencial nos pontos

=     ϕ B - ϕ A

=     ϕ 1,0   - ϕ - 1,0

=   1 2 ln ⁡ 1 -   1 2 ln ⁡ 1

= 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ( - 1,0 ) ( 1,0 ) x x 2 + y 2   d x + y x 2 + y 2   d y = 0

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