Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 30
Seja e . Verifique as identidades:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos ver o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor qualquer opera assim ó:
Ok?
Aplicando isso ao vetor temos:
Assim:
Passo 2
Para verificar a parte vamos definir quem é :
Agora podemos aplicar o divergente dessa quantidade:
Certo?
Agora vou calcular separadamente as derivadas parciais.
Pela regra do produto temos, para a parcial em :
Para a parcial em :
Para a parcial em :
Agora podemos somar todos esses termos:
Podemos juntar os termos semelhantes e os termos com o mesmo denominador:
E podemos simplificar o segundo termo do lado direito:
Mas sabemos que , então:
Vamos para a última demonstração?
Passo 3
Legal! Sabendo que , vamos substituir no operador
Então vamos por partes. A primeira derivada parcial de cada componente é:
- Em
- Em
- Em
Agora precisamos derivar novamente, mas olha que legal: já fizemos essa derivada antes, no passo anterior! Sabemos quanto é!
Vou colocar tudo na equação pra podermos ver melhor! Saca só:
Dentro das chaves temos as derivadas que calculamos no passo ! Agora vamos resgatar o valor que encontramos:
Assim:
Beleza! Bons estudos!
Resposta
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