Enunciado

Seja vec r = x vec i + y vec j + z vec k e r = | r | . Verifique as identidades:

  1. grad * vec r = 3
  2. grad * (r vec r) = 4 r
  3. grad^2 r^3 = 12 r

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos ver o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor vec v ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

grad * vec v = ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * (a , b , c) = (del)/(del x) a + (del)/(del y) b + (del)/(del z) c

Ok?

Aplicando isso ao vetor vec r temos:

grad * vec r = ((del)/(del x) , (del)/(del y) , (del)/(del z)) * (x , y , z) = (del)/(del x) x + (del)/(del y) y + (del)/(del z) z = 3

Assim:

grad * vec r = 3

Passo 2

Para verificar a parte b ) vamos definir quem é r vec r :

r vec r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ( x vec i + y vec j + z vec k )

Agora podemos aplicar o divergente dessa quantidade:

grad * (r vec r) = (del)/(del x) [x sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] + (del)/(del y) [y sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] + (del)/(del z) [z sqrt(x^2 + y^2 + z^2)]

Certo?

Agora vou calcular separadamente as derivadas parciais.

Pela regra do produto temos, para a parcial em x :

(del)/(del x) [x sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Para a parcial em y :

(del)/(del y) [y sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (y^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Para a parcial em z :

(del)/(del z) [y sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (z^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Agora podemos somar todos esses termos:

grad * (r vec r) = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) + sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (y^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) + sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (z^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

Podemos juntar os termos semelhantes ( sqrt(x^2 + y^2 + z^2) ) e os termos com o mesmo denominador:

grad * (r vec r) = 3 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + y^2 + z^2)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

E podemos simplificar o segundo termo do lado direito:

grad * (r vec r) = 3 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) + sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = 4 sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Mas sabemos que r = sqrt(x^2 + y^2 + z^2) , então:

grad * (r vec r) = 4 r

Vamos para a última demonstração?

Passo 3

Legal! Sabendo que r^3 = (sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3 , vamos substituir no operador grad^2 :

grad^2 [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = (del^2)/(del x^2) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] + (del^2)/(del y^2) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] + (del^2)/(del z^2) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3]

Então vamos por partes. A primeira derivada parcial de cada componente é:

  • Em x :
  • (del)/(del x) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = 3 x sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

  • Em y :
  • (del)/(del y) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = 3 y sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

  • Em z :

(del)/(del z) [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = 3 z sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Agora precisamos derivar novamente, mas olha que legal: já fizemos essa derivada antes, no passo anterior! Sabemos quanto é!

Vou colocar tudo na equação pra podermos ver melhor! Saca só:

grad^2 [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = 3 {(del)/(del x) [x sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] + (del)/(del y) [z sqrt(x^2 + y^2 + z^2)] + (del)/(del z) [z sqrt(x^2 + y^2 + z^2)]}

Dentro das chaves temos as derivadas que calculamos no passo 2 ! Agora vamos resgatar o valor que encontramos:

grad^2 [(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))^3] = 3 {4 sqrt(x^2 + y^2 + z^2)} = 12 r

Assim:

grad^2 r^3 = 12 r

Beleza! Bons estudos!

Resposta

( a ) grad * vec r = 3

( b ) grad * (r vec r) = 4 r

( c ) grad^2 r^3 = 12 r

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