Enunciado

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   F → + G → = d i v   F → + d i v   G →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que os campos vetoriais F → e G → são dessa forma aqui ó:

F → = F 1 i → + F 2 j → + F 3 k →

G → = G 1 i → + G 2 j → + G 3 k →

Ok?

Passo 2

Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor v → ( a , b , c ) qualquer opera assim ó:

∇ ⋅ v → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c = ∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 3

Legal! O próximo passo é fazer a soma dos vetores. Essa soma é componente a componente:

F → + G → = F 1 + G 1 i → + F 2 + G 2 j → + F 3 + G 3 k →

Agora vamos aplicar essa operação nos campos F →   e   G → que definimos no passo 1 .

∇ ⋅ F → + G → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ F 1 + G 1 , F 2 + G 2 , F 3 + G 3

= ∂ ∂ x ( F 1 + G 1 ) + ∂ ∂ y ( F 2 + G 2 ) + ∂ ∂ z ( F 3 + G 3 )

Como a derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar todos esses parênteses:

∇ ⋅ F → + G → = ∂ ∂ x F 1 + ∂ ∂ x G 1 + ∂ ∂ y F 2 + ∂ ∂ y G 2 + ∂ ∂ z F 3 + ∂ ∂ z G 3

Parece uma coisa enorme, não é? Mas calma!

Passo 4

Agora vou agregar todas as derivadas de um mesmo campo vetorial, pra ficar mais claro onde quero chegar:

∇ ⋅ F → + G → = ∂ ∂ x F 1 + ∂ ∂ y F 2 + ∂ ∂ z F 3 + ∂ ∂ x G 1 + ∂ ∂ y G 2 + ∂ ∂ z G 3

Dá uma espiada no passo 2 .

Olhou? Ótimo!

Os três primeiros termos do lado direito não se parecem justamente com o divergente do vetor F → ? E os três últimos termos do lado direito não são os termos do divergente de G → ? SIM! Exatamente, eles mesmos. Então podemos reescrever na forma do operador :

∇ ⋅ F → + G → = ∇ ⋅ F → + ∇ ⋅ G →

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 xi + yj + zk
b) Calcule ∫ C 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x d x + 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 d y , onde C é o arco da parábola 2 x = π y 2 , de P 1 = 0,0 até P 2 = π 2 , 1 .
Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y . b) Calcule o valor da integral de A = 0,0 a B = 1,1 para o valor de k encontrado em a).
Caso exista encontre uma função potencial para V x , y = 2 x y 3 - y 2 cos ⁡ x , 1 - 2 y sin ⁡ x + 3 x 2 y 2 .
Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valoresa) ∫ 1 , - 2 3,4 y d x - x d y x 2