Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 23
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra mostrar essas identidades, vamos supor que os campos vetoriais e são dessa forma aqui ó:
Ok?
Passo 2
Vamos ver agora o que o divergente de um vetor faz. O operador nabla, quando está com produto escalar com um vetor qualquer opera assim ó:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Passo 3
Legal! O próximo passo é fazer a soma dos vetores. Essa soma é componente a componente:
Agora vamos aplicar essa operação nos campos que definimos no passo .
Como a derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar todos esses parênteses:
Parece uma coisa enorme, não é? Mas calma!
Passo 4
Agora vou agregar todas as derivadas de um mesmo campo vetorial, pra ficar mais claro onde quero chegar:
Dá uma espiada no passo .
Olhou? Ótimo!
Os três primeiros termos do lado direito não se parecem justamente com o divergente do vetor ? E os três últimos termos do lado direito não são os termos do divergente de ? SIM! Exatamente, eles mesmos. Então podemos reescrever na forma do operador :
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)