Enunciado

As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E → e o magnético H → , quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:

d i v   E → = 0               d i v   H → = 0

r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t                 r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t

Onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:

  1. ∇ × ∇ × E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²
  2. ∇ × ∇ × H → = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²
  3. ∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ ² E → ∂ t ² (Sugestão: use o exercício 29 . )
  4. ∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ ² H → ∂ t ²

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Da equação r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t temos:

∇ × E → = - 1 c ∂ H → ∂ t

Aplicando o rotacional dos dois lados temos:

∇ × ∇ × E → = ∇ × - 1 c ∂ H → ∂ t = - 1 c ∂ ( ∇ × H → ) ∂ t  

Agora usando r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t no lado direito:

∇ × ∇ × E → = - 1 c   ∂ ∂ t - 1 c ∂ E → ∂ t = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²

Passo 2

Da letra b e usando r o t   E → = - 1 c ∂ H → ∂ t e r o t   H → = 1 c ∂ E → ∂ t temos:

∇ × ∇ × H → = ∇ × 1 c ∂ E → ∂ t = 1 c ∂ ∂ t ∇ × E → = 1 c ∂ ∂ t - 1 c ∂ E → ∂ t = - 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²

Passo 3

Do Exercício 29 temos:

∇ 2 F → = ∇ ∇ ⋅ F → - ∇ × ( ∇ × F → )

Aplicando para o campo E → :

∇ 2 E → = ∇ ∇ ⋅ E → - ∇ × ( ∇ × E → )

Mas como ∇ ⋅ E → = 0 temos:

∇ 2 E → = - ∇ × ( ∇ × E → )

E da letra a . temos:

∇ 2 E → = 1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t ²

Passo 4

Do Exercício 29 temos:

∇ 2 F → = ∇ ∇ ⋅ F → - ∇ × ( ∇ × F → )

Aplicando para o campo H → :

∇ 2 H → = ∇ ∇ ⋅ H → - ∇ × ( ∇ × H → )

Mas como ∇ ⋅ H → = 0 temos:

∇ 2 H → = - ∇ × ( ∇ × H → )

E da letra a . temos:

∇ 2 H → = 1 c 2 ∂ 2 H → ∂ t ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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