Enunciado

17-18. Verifique a aproximação linear em ( 0 , 0 ) .

18. (y - 1)/(x + 1) tildetilde x + y - 1

Passo 1

Antes de verificarmos a aproximação linear, temos que conferir se f ( x , y ) é diferenciável no ponto dado. Segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart, f só é diferenciável se as derivadas parciais f_x e f_y existirem perto do ponto ( a , b ) e forem contínuas em ( a , b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f_x = (y - 1) . (- 1) . (x + 1)^(- 2) = - (y - 1)/(( x + 1 ) ²)

f_x (0 , 0) = - (0 - 1)/((0 + 1)^2) = 1

f_y = (1)/(x + 1)

f_y (0 , 0) = (1)/(0 + 1) = 1

Sendo assim, podemos concluir que f_x e f_y são contínuas desde que x > - 1 . Nosso ponto satisfaz essa condição, então fica provado que, de fato, f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

Tudo bem, agora que provamos que f é diferenciável no ponto em questão, vamos verificar se a aproximação linear bate mesmo! A aproximação linear f ( x , y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

f (x , y) tildetilde f (a , b) + f_x (a , b) (x - a) + f_y (a , b) (y - b)

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f (0 , 0) = (0 - 1)/(0 + 1) = - 1

Sendo assim, teremos:

f (x , y) tildetilde - 1 + 1 (x - 0) + 1 ( y - 0 )

:. f (x , y) tildetilde x + y - 1

E aí está a verificação solicitada pelo enunciado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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