Enunciado

Demonstre a identidade

t g h   ln ⁡ x = x ² - 1 x ² + 1

Passo 1

Oi, oiii, bora matar mais essa então?

Aqui, temos que provar a seguinte identidade:

t g h ln ⁡ x = x 2 - 1 x 2 + 1

Para isso, vamos usar o fato que a tangente é o seno sobre cosseno e isso também é válido para as funções hiperbólicas:

t g h   x = s e n h x cosh ⁡ x

Além disso, também vamos usar as fórmulas do seno e do cosseno hiperbólico:

s e n h x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Com isso, a gente consegue começar... ah, nessa questão também vai ser importante saber que a função ln ⁡ x é o inverso da função e x , portanto, podemos sempre dizer que:

e ln ⁡ x = x

Ou que

l n e x = x

Show?

Passo 2

Se já sabemos como calcular, agora é só substituir:

t g h   x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Então:

t g h   x = e x - e - x e x + e - x

Mas não é bem isso que queremos, certo?

Nós queremos t g h   ln ⁡ x , então bora substituir:

t g h   ln ⁡ x = e ln ⁡ x - e - ln ⁡ x e ln ⁡ x + e - ln ⁡ x

Sabemos pelas propriedades do ln que, quando um número está multiplicando o ln, ele pode ser transferido para o lugar do expoente (aquela famosa regra do peteleco):

- l n x = l n x - 1

Substituindo na nossa expressão, temos:

t g h   ln ⁡ x = e ln ⁡ x - e ln ⁡ x - 1 e ln ⁡ x + e ln ⁡ x - 1

Também sabemos que:

e ln ⁡ x = x

Então:

t g h   ln ⁡ x = x - x - 1 x + x - 1

Reorganizando:

t g h   ln ⁡ x = x - 1 x x + 1 x

Tirando o MMC:

t g h   ln ⁡ x = x ² - 1 x x ² + 1 x

Multiplicando pelo inverso da fração debaixo:

t g h   ln ⁡ x = x ² - 1 x × x x ² + 1

Concluindo:

t g h   ln ⁡ x = x ² - 1 x ² + 1

E prontoo!

Resposta

Demonstração nos passos.

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