Enunciado

Demonstre que se f" > O ao longo de todo um intervalo [a, b], então f' tem no máximo uma raiz em [a, b]. E se, em vez disso, f"

Passo 1

Sabemos que se f”(x) existe ao longo de todo nosso intervalo [a, b], então a função f’(x) é contínua nesse intervalo. Queremos mostrar que se a segunda derivada da nossa função é positiva ao longo do nosso intervalo fechado [a, b], a função f’(x) tem no máximo uma raiz nesse mesmo intervalo.

Passo 2

Para mostrar que f’ tem no máximo uma raiz dentro do intervalo [a, b] vamos adotar uma estratégia baseada em contradição. Vamos supor que nossa função f’ tem mais de uma raiz dentro desse intervalo e mostraremos que isso é incongruente com o que foi dado no enunciado.

Passo 3

Supondo, então, que f’(x) possua 2 zeros que chamaremos de r1 e r2, teremos que: f ’(r1) = f ’(r2) = 0. Sendo assim, como a função f ’ é continua nesse intervalo podemos aplicar o teorema de Rolle e, assim, teremos um número c entre r1 e r2 tal que f ”(c) = 0, mas como o enunciado nos informou que f ”>0 em todo o intervalo, concluímos que f ’ tem , no máximo, um zero e essa mesma análise vale para quando f

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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