Enunciado

O que pode ser dito sobre funções cujas derivadas são constantes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Primeiramente devemos entender o que é uma função cuja derivada é constante, para isso tomemos a função g ( x ) = m x e a derivamos obtendo g ’ ( x )   = m que é constante para qualquer valor de x , ou seja, seu valor é o mesmo independente do valor de x para o qual eu queira colocar em g ' x .

Passo 2

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função f x tal que g ' x = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que g x = f x + C . No nosso caso, como g ' x é um valor constante, a nossa função f vai ser do tipo f x = m x .

Passo 3

Aplicando as conclusões do corolário chegamos em f ( x )   =   g ( x )   +   b , sendo b uma constante numérica. Assim, f ( x )   =   m x   +   b , ou seja, uma função do primeiro grau. Portanto, todas as funções que apresentam uma derivada constante podem ser representadas como uma reta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' =4 x - 1 x .
Mostre que função r( θ ) = sec ⁡ θ - 1 θ ³ + 5 ³ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).
Determine a função cuja derivada é f ’ x = e 2 x e cuja curva passe pelo ponto P ( 0 ,3 2 ) .
Suponha que f " seja contínua em [ a ,b ] e quef tenha três raízes no intervalo. Mostre quef " tem pelo menos uma raiz em ( a ,b ) . Generalize esse resultado.
Mostre que função r θ = tg ⁡ θ - c o t gθ - θ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).