Enunciado

Demonstre a parte (i) do teorema 8.

Passo 1

E aí meus amores, vamos recapitular a parte (i) do Teorema 8.

Se ∑ a n e ∑ b n são séries convergentes, então ∑ c a n também é convergente:

∑ n = 1 ∞ c a n = c ∑ n = 1 ∞ a n

Para demonstar isso, vamos partir da série da esquerda e tentar chegar na direita. Vamos reescrever ela assim:

∑ n = 1 ∞ c a n = c a 1 + c a 2 + c a 3 + … + c a n + …

Passo 2

Se colocarmos c em evidência

c a 1 + c a 2 + c a 3 + … + c a n + … = c ( a 1 + a 2 + a 3 + … + a n + … )

A parte de dentro do parênteses é justamente a série

∑ n = 1 ∞ a n

Então

c a 1 + a 2 + a 3 + … + a n + … = c ∑ n = 1 ∞ a n

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∑ n = 1 ∞ c a n = c ∑ n = 1 ∞ a n

Resposta

Demonstração.

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