Enunciado

Qual das fórmulas a seguir não equivale às outras duas?

a. ∑ k = 1 4 ( k - 1 ) 2

b.

∑ k = - 1 3 k + 1 2

c.

∑ k = - 3 - 1 k 2

Passo 1

O enunciado nos da três formulas e duas delas são equivalentes, temos que identificar quais são. Para isso vamos analisar separadamente cada somatória.

Passo 2

Começando pela somatória (a)

∑ k = 1 4 ( k - 1 ) 2

Vamos calcular os termos dessa somatória.

O primeiro termo para k=1 é 0;

O segundo termo para k=2 é ( 2 - 1 ) 2 = 1 ;

O terceiro termo para k=3 é 3 - 1 2 = 4 ;

O quarto termo para k=4 é 4 - 1 2 = 9 .

Se repararmos bem, existe um padrão, perceba que o expoente é constante, mas a base varia, cada termo da base é maior em uma unidade do que o anterior, em outras palavras, a somatória equivale a:

0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2

Ou seja:

0 + 1 + 4 + 9 = 14

Passo 3

Agora vamos analisar a somatória (b)

∑ k = - 1 3 k + 1 2

A gente pode usar a estratégia que aprendermos no passo anterior para analisar essa somatória. Vamos lá, o expoente é constante e igual a 2, a base varia em uma unidade maior que o termo anterior, e o primeiro termo é ( - 1 + 1 ) 2 , ou seja, a base começa com 0.

Assim essa somatória equivale a expressão:

0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2

Se você quiser mais segurança pode calcular termo a termo, nesse caso são poucos termos então não ia demorar muito, mas recomendo aprender essas estratégias para analisar as somatórias.

O importante é que essa somatória é diferente da primeira:

0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30

Então já podemos ver que a somatória (a) e a somatória (b) não são equivalentes.

Passo 4

Agora vamos ver com qual das formulas anteriores a somatória (c) é equivalente.

∑ k = - 3 - 1 k 2

Novamente o expoente é constante e igual a 2, e a base varia em uma unidade maior que o termo anterior, começando por - 3 :

( - 3 ) 2 + - 2 2 + ( - 1 ) 2

9 + 4 + 1 = 14

Apesar das expressões não serem iguais, podemos dizer que (a) e (c) são equivalentes, pois as somatórias representam um número, e sabemos que 14 equivale a 14, então (a) equivale a (c).

Resposta

As fórmulas (a) e (c) são equivalentes.

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