Demonstre que, para as potências de seno,

∫ 0 π 2 se n 2 n ⁡ x d x = 3 * 5 * 7 * … * 2 n - 1 2 * 4 * 6 * … * 2 n π 2  

Passo 1

Nessa resolução usaremos o Exercício 45(a), volte nele para relembrar!

Passo 2

Com o Exercício 49(a), vemos que a fórmula serve para n = 1 porque

∫ 0 π 2 se n 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ 0 π 2 1 d x = 1 2 x 0 π 2 = 1 2 π 2

Agora, assumiremos que ela serve para algum k ≥ 1 , portanto,

∫ 0 π 2 se n 2 k ⁡ x d x = 1 * 3 * 5 * … * 2 k - 1 2 * 4 * 6 * … * 2 k π 2

Aplicando o Exercício 49(a), teremos que

∫ 0 π 2 se n 2 k + 1 ⁡ x d x = 2 k + 1 2 k + 2 ∫ 0 π 2 se n 2 k ⁡ x d x = 2 k + 1 2 k + 2   1 * 3 * 5 * … * 2 k - 1 2 * 4 * 6 * … * 2 k π 2 =

1 * 3 * 5 * … * 2 k - 1 ( 2 k + 1 ) 2 * 4 * 6 * … * 2 k ( 2 k + 2 ) π 2

Passo 3

Assim, concluímos que a fórmula serve para n = k + 1 . Por indução, a fórmula serve para todo n ≥ 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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