Enunciado

6. Esboce o gráfico de uma função que seja continua exceto para a descontinuidade declarada.

Descontinuidades em -1 e 4, porém continua à esquerda em -1 e a direita em 4

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado pede pra a gente esboçar um gráfico de uma função que seja continua à esquerda em - 1 e a direita em 4 , com descontinuidade em - 1 e 4 .

Aqui a gente pode usar QUALQUER função desde que a gente obedeça aos critérios que terminamos de ver! Lembrando que, para que a função seja contínua, a direita e a esquerda, respectivamente, devemos ter:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = f ( a )

lim x → a - ⁡ f ( x ) = f ( a )

Mas para que ela seja descontinua em - 1 e 4 , deveremos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) ≠ f ( a )

Caso o limite da função não exista nesse ponto, como em casos de limites laterais diferentes, também teremos uma descontinuidade.

É analisando essas condições que iremos encontrar nossa função. Veja que, a melhor estratégia aqui é utilizarmos de funções que são determinadas por mais de uma equação, encontrar apenas uma função que satisfaça todos os requerimentos pode ser MUITO difícil.

Passo 2

Vamos dividir em duas partes para ficar mais fácil e depois juntamos tudo! Para o ponto x = - 1 , temos:

f x = x ,     x ≤   - 1 x + 2 ,     x > - 1

Com isso, garantimos que ela vai ser continua a esquerda de - 1 , pois nesse ponto a função assume o valor - 1 e descontinua a direita, pois após esse ponto ela assume valor 1. De fato, teremos:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = - 1

E

f - 1 = - 1

Passo 3

Para o ponto x = 4 o raciocínio que iremos utilizar ser bem parecido, mas dessa vez nossa continuidade será à direita, então nossa função terá as seguintes equações em sua composição:

f x = x ,   ( x ≤ - 1 ) x + 2 ,   ( - 1 < x < 4 ) x , ( x ≥ 4 )

Podemos verificar que:

lim x → 4 + ⁡ f ( x ) = 4

Veja que nossas funções são descontinuas nos pontos - 1 e 4 pois seus limites laterais nesses pontos são diferentes, sendo assim, o limite para essas funções nestes pontos não existe.

Passo 4

Plotando o gráfico temos com o auxílio do GeoGebra, temos:

Basicamente temos aqui a representação da nossa função. Os pontos fechados indicam o valor da função no ponto dado, já os pontos abertos indicam o salto da função, a indefinição da função naquele ponto.

Resposta

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