Enunciado

Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro, um quadrado.

  1. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja mínima?
  2. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?

Passo 1

  1. A área do círculo é dada por π r 2 , sendo r o raio do círculo e a do quadrado é dada por a 2 , sendo a o lado do quadrado.
  2. Consideramos então a soma dessas áreas como S e é dada por S = π r 2 + a 2   ( E q   1 ) .

    Além disso, o comprimento l do fio está divido entre as duas figuras. Logo a soma do perímetro delas compreende essa dimensão. Assim, podemos escrever que:

    l = 2 π r + 4 a   ( E q   2 )

    2 π r é o comprimento de uma circunferência.

    4 a é a soma dos quatros lados do quadrado.

    Passo 2

    Concluídas as nossas equações, precisamos manipula-las. Isolando a na E q   2 e substituindo seu valor na E q   1 , temos que:

    l = 2 π r + 4 a ⇒ 4 a = l - 2 π r ⇒ a = l - 2 π r 4

    S = π r 2 + a 2 ⇒ S = π r 2 + l - 2 π r 4 2 ⇒ S = π r 2 + l 2 - 4 l π r + 4 π 2 r 2 16

    Passo 3

    Para calcular os valores máximos e mínimos de uma função de forma simplificada primeiro precisamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x , que neste caso é a nossa variável r . Assim, temos:

    S ' = 2 π r + - 4 l π + 8 π 2 r 16

    S ' = 0 ⇒ 2 π r + - 4 l π + 8 π 2 r 16 = 0 ⇒ 32 π r - 4 l �� + 8 π 2 r = 0 ⇒ r 32 π + 8 π 2 = 4 l π

    ⇒ r = 4 l π 32 π + 8 π 2 ⇒ r = l 8 + 2 π

    Logo, r = l 8 + 2 π é um ponto crítico.

    Passo 4

    Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja f uma função derivável num intervalo ( a , b ) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' c = 0 ,   c o m   a < c < b . Se f admite a derivada f ' ' em ( a , b ) , temos:

    1. Se f ' ' c > 0   ,   f   t e m   u m   v a l o r   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   c .
    2. Se f ' ' c < 0 ,   f   t e m   u m   v a l o r   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   c .

    Assim, calculando a segunda derivada de S , temos:

    S ' ' = 2 π + 8 π 2 16

    Aplicando o ponto crítico calculado no passo anterior em S ' ' :

    S ' ' 1 8 + 2 π = 2 π + 8 π 2 16 > 0 ⇒ É   p o n t o   d e   m í n i m o   !

    Portanto: r = l 8 + 2 π       e       a = l - 2 π r 4 = l - 2 π 1 8 + 2 π 4 = l 4 + π  

    E assim:

    1º Pedaço: 2 π r = 2 π . l 8 + 2 π = l π 4 + π

    2º Pedaço: 4 a = 4 l 4 + π

    Passo 5

  3. Como não existe ponto de máximo na função, devemos fazer somente um círculo ou um quadrado. Temos:

A c i r c u l o = π r 2 ⇒ l = 2 π r ⇒ r = l 2 π ⇒ A c i r c u l o = π l 2 4 π 2 = l 2 4 π

A q u a d r a d o = a 2 ⇒ l = 4 a ⇒ a = l 4 ⇒ A q u a d r a d o = l 2 16

Como A c i r c u l o > A q u a d r a d o , devemos usar o comprimento do fio para fazer somente um círculo de raio r = l 2 π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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