Enunciado

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3     dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,   u → ,   v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → ):

  1. r o t   u → + v → = r o t   u → + r o t   v →

Passo 1

Estamos supondo suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais.

Daí a gente tem que:

r o t   u → + v → =   i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P + P 1 Q + Q 1 R + R 1

Isso é equivalente a:

= i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R + i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P 1 Q 1 R 1

Ou seja:

= r o t   u → + r o t   v →

Prontinho!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: b )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,z ≥ x + y } e u → = - 2 x y i → + y 2 j → + 3 z k → .
Seja F → x , y , z = ( x + y + z 2 ) k → e seja σ a fronteira do cilindro x 2 + y 2 ≤ 4 e 0 ≤ z ≤ 3 .Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S onde n → é a normal que aponta para fora do cilindro.
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: c )B = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } e u → = x i → + y j → + z 2 k → .
Seja σ o gráfico de f ( x , y ) = x 2 + y 2 ,x 2 + y 2 ≤ 1 e seja n → a normal a σ com componente z ≤ 0 . Seja F → x , y , z = x 2 y i → - x y 2 j → + k → , calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S ,