Enunciado

Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3     dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,   u → ,   v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → ):

e) d i v   r o t   u → = 0

Passo 1

Estamos supondo u → = P i → + Q j → + R k →   e   v → = P 1 i → + Q 1 j → + R 1 k → e vamos partir da hipótese de que as componentes admitam derivadas parciais. Vamos supor ainda que as componentes sejam de classe C 2 .

Aqui a gente quer provar que o divergente do rotacional é zero. Vamos começar calculando o rotacional...

r o t   u → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

= i → ∂ ∂ y ∂ ∂ z Q R - j → ∂ ∂ x ∂ ∂ z P R + k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y P Q

=   i → ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z + j → ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x + k → ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y

Beleza, esse é o rotacional.

Passo 2

Vamos fazer o divergente desse rotacional agora...

d i v =   ∂ 2 R ∂ y ∂ x - ∂ 2 Q ∂ z ∂ x + ∂ 2 P ∂ z ∂ y - ∂ 2 R ∂ x ∂ y - ∂ 2 Q ∂ x ∂ z - ∂ 2 P ∂ y ∂ z

Ok. Como as componentes são de classe C 2 , nós temos que a ordem de derivação não importa, ou seja:

∂ 2 R ∂ y ∂ x = ∂ 2 R ∂ x ∂ y

∂ 2 Q ∂ z ∂ x = ∂ 2 Q ∂ x ∂ z

∂ 2 P ∂ z ∂ y = ∂ 2 P ∂ y ∂ z

E então com isso temos que esse divergente calculado ali em cima resulta em 0 .

Provamos então que:

d i v   r o t   u → = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: B = x , y , z ∈ R 3 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ xe0 ≤ z ≤ 4 } e u → = x y i → + y z j → + z 2 k → .
Seja r → = x i → + y k → + z k → e seja B um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Prove: v o lB = 1 3 ∬ σ r → ⋅ n →d S Onde σ é a fronteira de B com normal exterior n → .
Calcule ∬ σ u → ⋅ n →d S sendo σ a fronteira de B com normal exterior n → sendo: e )B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 1 ,0 ≤ y ≤ 1e0 ≤ z ≤ 1 e u → = x 3 i → + y 3 j → + z 3 k → .
Seja F → x , y , z = x y 2 i → + x y zj → + z - y 2 z - 1 2 x z 2 k → e seja σ a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 , sendo n → a normal com componente z ≥ 0 . Calcule ∬ σ F → ⋅ n →d S .
Seja u → um campo vetorial de classe C 2 num aberto Ω ⊂ R 3 e seja B ⊂ Ω um compacto ao qual o teorema da divergência se aplica. Seja σ a fronteira de B , com normal n → apontando para fora de B . Cal