Derive.

g(t) = (e^t - e^(-t)) / (e^t + e^(-t))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g ' t = f ' t h t - f t h ' t h t 2

Onde:

f t = e t - e - t

e

h t = e t + e - t

Assim temos então que:

e t - e - t e t + e - t ' = f ' t h t - f t h ' t h t 2

= e t - e - t ' e t + e - t - e t - e - t e t + e - t ' e t + e - t 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

e f t ' = e f t ⋅ f ( t ) '

t n ' = n t n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' t :

f ' t = e t - e - t ' = e t ' - e - t = e t ⋅ t ' - e - t ⋅ - t '

f ' t = e t ⋅ 1 - e - t ⋅ - 1 = e t + e - t

Agora para h ' t :

h ' t = e t + e - t ' = e t ' + e - t = e t ⋅ t ' + e - t ⋅ - t ' =

h ' t = e t ⋅ 1 + e - t ⋅ - 1 = e t - e - t

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

g ' t = e t - e - t ' e t + e - t - e t - e - t e t + e - t ' e t + e - t 2

g ' t = e t + e - t e t + e - t - e t - e - t e t - e - t e t + e - t 2

g ' t = e 2 t + 2 e t e - t + e - 2 t - e 2 t - 2 e t e - t + e - 2 t e t + e - t 2

Como e t e - t = e t - t = e 0 = 1

= e 2 t + 2 + e - 2 t - e 2 t - 2 + e - 2 t e t + e - t 2

g ' t = 4 e t + e - t 2

Feshow? :)

Resposta

g ' t = 4 e t + e - t 2

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