21. AcheDx^3(2 \* tg(3x))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 3 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 3 derivadas. Uma da função dada e duas das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia nessa derivação.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

D x   2   t g 3 x = 2 ⋅ s e c 2 3 x ⋅ 3

                                                = 6 ⋅ s e c 2 3 x

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

D x   6 ⋅ s e c 2 3 x =   D x 6 ⋅ s e c 2 3 x + 6 ⋅ D x s e c 2 3 x

A derivada D x s e c 2 3 x é meio chatinha pois é necessário pensar com a regra da cadeia para fazer a derivação:

D x   6 ⋅ s e c 2 3 x =   D x 6 ⋅ s e c 2 3 x + 6 ⋅ D x s e c 2 3 x

                                                                = 6 ⋅ [ 2 s e c 3 x ⋅ sec ⁡ 3 x   t g   3 x ⋅ 3 ]

                                                              = 36 ⋅ s e c 2   3 x   t g   3 x

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

D x   36 ⋅ s e c 2 3 x   t g   3 x =   36 ⋅ [ D x s e c 2 3 x ⋅ t g   3 x + s e c 2 3 x ⋅ D x ( t g   3 x )

Repare que no passo anterior já conseguimos a derivada sec² 3x (está dentro do colchete), então agora é só substituir aqui também.

D x   36 ⋅ s e c 2 3 x   t g   3 x = 36 ⋅ ( 6 s e c 2 3 x   t g   3 x ⋅ t g   3 x + s e c 2 3 x ⋅ [ s e c 2 3 x ⋅ 3 ] )

                                                                                          = 36 ⋅ ( 6 s e c 2 3 x t g 2 3 x + 3 s e c 4 3 x )

                                                                                          = 36 ⋅ 3 ( 2 s e c 2 3 x t g 2 3 x + s e c 4 3 x )

                                                                                        = 108 ⋅ ( 2 ⋅ s e c 2 3 x ⋅ t g 2 3 x + s e c 4 3 x )

Passo 5

Prontinho, fizemos as três derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 3 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

D x ³ ( 2   t g ( 3 x ) ) = 108 [ 2 s e c 2 ( 3 x ) ⋅ t g 2 ( 3 x ) + s e c 4 ( 3 x ) ]

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