Enunciado

21. Ache D_x ³ ( 2 t g ( 3 x ) )

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 3 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 3 derivadas. Uma da função dada e duas das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Usaremos a regra do produto e a regra da cadeia nessa derivação.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

D_x (2 t g 3 x) = 2 * s e c^2 3 x * 3

= 6 * s e c^2 3 x

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

D_x (6 * s e c^2 3 x) = D_x (6) * s e c^2 3 x + 6 * D_x (s e c^2 3 x)

A derivada D_x (s e c^2 3 x) é meio chatinha pois é necessário pensar com a regra da cadeia para fazer a derivação:

D_x (6 * s e c^2 3 x) = D_x (6) * s e c^2 3 x + 6 * D_x (s e c^2 3 x)

= 6 * [ 2 s e c 3 x * sec 3 x t g 3 x * 3 ]

= 36 * s e c^2 3 x t g 3 x

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

D_x (36 * s e c^2 3 x t g 3 x) = 36 * [ D_x (s e c^2 3 x) * t g 3 x + s e c^2 3 x * D_x ( t g 3 x )

Repare que no passo anterior já conseguimos a derivada sec² 3x (está dentro do colchete), então agora é só substituir aqui também.

D_x (36 * s e c^2 3 x t g 3 x) = 36 * ( 6 s e c^2 3 x t g 3 x * t g 3 x + s e c^2 3 x * [ s e c^2 3 x * 3 ] )

= 36 * ( 6 s e c^2 3 x t g^2 3 x + 3 s e c^4 3 x )

= 36 * 3 ( 2 s e c^2 3 x t g^2 3 x + s e c^4 3 x )

= 108 * ( 2 * s e c^2 3 x * t g^2 3 x + s e c^4 3 x )

Passo 5

Prontinho, fizemos as três derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 3 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

D_x ³ ( 2 t g ( 3 x ) ) = 108 [ 2 s e c^2 ( 3 x ) * t g^2 ( 3 x ) + s e c^4 ( 3 x ) ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Calcule f ' 1 supondo g 1 = 4 e g ' 1 = 2 .
Seja y = y r derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d r y 2 d y d r = 2 y d y d r 2 + y 2 d 2 y d r 2
Derive.g) y = cossec ⁡ 2 x
Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2
Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0