Derive.

f(x) = (e^(-x) + e^(x^2))^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = e - x + e x 2

f u = u 3

Assim temos então que:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x = u 3 ' ⋅ e - x + e x 2 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 3 ' = 3 u 3 - 1 = 3 u 2

Agora para g ' x :

g ' x = e - x + e x 2 ' = e - x ' + e x 2 = e - x ⋅ - x ' + e x 2 ⋅ x 2 ' = e - x ⋅ - x 1 - 1 + e x 2 ⋅ 2 x 2 - 1 = e - x ⋅ - x 0 + e x 2 ⋅ 2 x = e - x ⋅ - 1 + 2 x e x 2 = - e - x + 2 x e x 2

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = u 3 ' ⋅ e - x + e x 2 ' = 3 u 2 ⋅ - e - x + 2 x e x 2

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

f ' x = 3 u 2 ⋅ - e - x + 2 x e x 2 = 3 e - x + e x 2 2 ⋅ - e - x + 2 x e x 2

Resposta

f ' x = 3 e - x + e x 2 2 ⋅ - e - x + 2 x e x 2

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