Derive.

y = cos^3(x^3)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = cos ⁡ x 3

f u = u 3

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = u 3 ' ⋅ cos ⁡ x 3 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

x n ' = n x n - 1

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 3 ' = 3 u 3 - 1 = 3 u 2

Agora para g ' x :

g ' x = cos ⁡ x 3 ' = - sen ⁡ x 3 ⋅ x 3 ' = - sen ⁡ x 3 ⋅ 3 x 3 - 1 = - sen ⁡ x 3 ⋅ 3 x 2 = - 3 x 2 sen ⁡ x 3

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = u 3 ' ⋅ cos ⁡ x 3 ' = 3 u 2 ⋅ - 3 x 2 sen ⁡ x 3

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 3 u 2 ⋅ - 3 x 2 sen ⁡ x 3 = 3 cos ⁡ x 3 2 ⋅ - 3 x 2 sen ⁡ x 3 = - 9 x 2 cos 2 ⁡ x 3 sen ⁡ x 3

Resposta

y ' = - 9 x 2 cos 2 ⁡ x 3 sen ⁡ x 3

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