Derive.

y = (z^2 + e^z) * raiz(z)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente derivar a função y = z 2 + e z z .

Observe que temos um produto de potências de z , então vamos relembrar a regra do produto e da potência na derivação, respectivamente:

f g ' = f g ' + g f '

d d x x n = n x n - 1

Então, vamos aplicar essas regrinhas na nossa função e encontrar a sua derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto para calcular a nossa derivada:

y ' = z 2 + e z z ' + z z 2 + e z '

Observe que z = z 1 / 2 , então podemos aplicar a regra da potência na derivação dele:

y ' = z 2 + e z 1 2 z 1 2 - 1 + z z 2 + e z '

Da mesma forma, aplicando a regra da potência em z 2 e lembrando que a derivada da exponencial e z é igual a ela mesma, temos:

y ' = z 2 + e z 1 2 z 1 2 - 1 + z 2 z 2 - 1 + e z

Arrumando os expoentes:

y ' = z 2 + e z 1 2 z - 1 2 + z 2 z 1 + e z

y ' = z 2 + e z 1 2 z + z ( 2 z + e z )

Aplicando a propriedade distributiva nos produtos:

y ' = z 2 2 z + e z 2 z + 2 z z + z e z

Simplificando os expoentes de mesma base, temos:

y ' = z 3 2 2 + e z 2 z + 2 z 3 2 + z e z

y ' = 5 2 z 3 / 2 + e z 2 z + z e z

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 5 2 z 3 / 2 + e z 2 z + z e z

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