Enunciado

Use a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função é contínua em um dado número a .

p v = 2 3 v 2 + 1 ,             a = 1

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho como você?

Bom, esse exercício da pra gente a função

p v = 2 3 v 2 + 1

E pede pra gente usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que essa função é contínua para a = 1 .

Então o que precisaremos aqui é saber o que torna uma função contínua em um ponto específico e verificar se isso acontece nessa função p ( v ) que temos aí.

E para que a função seja contínua no ponto a regra é essa aqui:

Uma função f é contínua em um número a se

lim x → a ��� f ( x ) = f ( a )

Ou seja, aqui temos três condições.

f ( a ) precisar estar definida em a (isto é, a está no domínio de f );

lim x → a ⁡ f ( x ) existe;

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) (o valor do limite é igual ao valor da função no ponto a ).

Se isso estiver acontecendo para a função no ponto dado no enunciado, então ela será contínua. Beleza?

Então, bora ver tudo isso acontecendo!

Passo 2

Vamos começar verificando se a função está definida em a .

Nossa função é

p v = 2 3 v 2 + 1 ,             a = 1

E fazendo p ( 1 ) , teremos:

  p 1 = 2 3 ⋅ 1 2 + 1

2 3 + 1 = 2 ⋅ 4 = 4

Logo a função está definida em a = 1 e seu valor é

p 1 = 4

Show. Agora vamos analisar o limite.

Passo 3

Precisamos calcular o limite de:

lim v → 1 ⁡ p ( v ) = lim v → 1 ⁡ 2 3 v 2 + 1

Aqui podemos aplicar a regra de limite de raiz, passando o limite diretamente para o radicando

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ f x

Assim, podemos fazer.

lim v → 1 ⁡ p v = 2 lim v → 1 ⁡ 3 v 2 + 1

Passo 4

Agora, podemos usar o limite da soma ou diferença que diz:

lim x → a ⁡ f x ± g x = lim x → a ⁡ f x ± lim x → a ⁡ g x

Então:

lim v → 1 ⁡ p v = 2 lim v → 1 ⁡ 3 v 2 + lim v �� 1 ⁡ 1

Passo 5

Agora podemos calcular o limite substituindo o valor de v na expressão. Com isso, temos:

2 3 1 2 + 1 = 2 4 = 4

E prontinho. Limite calculado.

Passo 6

Agora devemos confirmar a condição de continuidade da função p ( v ) no pondo a , que diz que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Lembrando que

lim x → a ⁡ f x = 4

E f a = 4

Provamos que a função é mesmo contínua no ponto dado.

Resposta

p ( v ) é contínua em a = 1

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