Enunciado

Encontre a derivada de f x = ( 1 + 2 x 2 ) ( x - x 2 ) de duas maneiras: usando a Regra do Produto e efetuando primeiro a multiplicação.

As respostas são iguais?

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos da:

f x = ( 1 + 2 x 2 ) ( x - x 2 )

E pede pra a gente calcular f ' ( x ) de duas maneiras e comparar se os resultados são iguais! Na primeira usaremos a regra do produto:

d g x h ( x )   d x = h ( x ) d   g x d x + g ( x ) d   g ( x )   d x

E a segunda forma a gente vai pegar a função e multiplicar os termos transformando ela em uma função polinomial normal, assim poderemos usar a regra da potência direto!

Passo 2

Vamos pra primeira forma! Temos que:

f x = g x h ( x )

Onde:

g x = 1 + 2 x 2

h x = x - x 2

Vamos derivar cada um:

g ' x = 4 x

h ' x = 1 - 2 x

Agora substuimos na regra do produto:

f ' ( x ) = x - x 2 4 x + 1 + 2 x 2 1 - 2 x

f ' x = 4 x 2 - 4 x 3 + 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 x 3

f ' x = - 8 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1

Passo 3

Agora vamos para a segunda forma!

f x = 1 + 2 x 2 x - x 2

f ( x ) = x - x 2 + 2 x 3 - 2 x 4

Derivando temos:

f ' x = - 8 x 3 + 6 x 2 - 2 x + 1

Exatamente a mesma resposta!

Resposta

y ' =   - 8 x 3 + 6 x 2 -   2 x + 1  

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