Enunciado

16. Derive

y = t 3 + t t 4 - 2

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = t 3 + t t 4 - 2

E pede pra gente derivá-la.

A ideia para resolver essas questões é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por uma fração onde temos uma função no numerador e outra no denominador. Podemos pensar dessa forma, sendo:

f t = t 3 + t

g t = t 4 - 2

Assim, nossa função se torna:

y = t 3 + t t 4 - 2 = f t g t

Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do quociente.

Quando temos um quociente entre duas funções a regra é essa aqui:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.

Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.

Passo 2

Estão pensando em nossa função como:

y = t 3 + t t 4 - 2 = f t g t

E sua derivada será dada por:

y ' = f g ' = f ' g - f g ' g 2

Enão já vamos fazer as derivada aqui de uma vez pra depois só substituir na fórmula de derivação, beleza?

Como:

f t = t 3 + t

Sua derivada seguirá a regra de derivação de potência na forma: d d x x n = n x n - 1 . Assim:

f ' t = 3 t 2 + 1

E para a função

g t = t 4 - 2

Seguiremos a mesma regra, lembrando que a derivada de uma constante é igual a zero. Teremos:

g ' t = 4 t 3

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir na fórmula.

Passo 3

Subitituindo tudo, ficamos com:

y ' = t 3 + t ' t 4 - 2 - ( t 3 + t ) ( t 4 - 2 ) ' t 4 - 2 2

y ' = ( 3 t 2 + 1 ) t 4 - 2 - ( t 3 + t ) ( 4 t 3 ) t 4 - 2 2

Vamos arrumar tudo fazendo as multiplicações necessárias:

y ' = 3 t 6 - 6 t 2 + t 4 - 2 - ( 4 t 6 + 4 t 4 ) t 4 - 2 2

e arrumando os sinais, teremos:

y ' = 3 t 6 - 6 t 2 + t 4 - 2 - 4 t 6 - 4 t 4 t 4 - 2 2

Que nos dará:

y ' = - t 6 - 3 t 4 - 6 t 2 - 2 t 4 - 2 2

Prontinho!! Essa é a nossa resposta!

Resposta

y ' = - t 6 - 3 t 4 - 6 t 2 - 2 t 4 - 2 2

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