Enunciado

Encontre todos os valores de x nos quais a reta tangente à curva dada satisfaz a propriedade enunciada.

y = x 2 - 1 x + 2 ; Horizontal.

Passo 1

Para que a reta tangente à curva seja horizontal, seu coeficiente angular deve ser zero, certo?

Como o coeficiente angular da reta tangente à curva é a derivada da mesma curva, temos que a derivada de y é 0 . Então, vamos achar todos os valores de x em que a derivada de y seja 0 !

Passo 2

Temos que:

y = x 2 - 1 x + 2

Derivando, pela regra do quociente:

y ' = x 2 - 1 ' ( x + 2 ) - ( x 2 - 1 ) x + 2 ' x + 2 2

y ' = ( 2 x ) ( x + 2 ) - ( x 2 - 1 ) ( 1 ) x + 2 2

y ' = 2 x 2 + 4 x - x 2 + 1 x + 2 2

y ' = x 2 + 4 x + 1 x + 2 2

Show, agora temos a derivada de y .

Passo 3

Para quais valores de x a derivada da função será zero? Nós temos que:

y ' = x 2 + 4 x + 1 x + 2 2

Olhando com cuidado, vemos de cara que x ≠ - 2 , pois se fosse 2 zeraria o denominador e não queremos isso.

Olhando de novo, temos que a única forma dessa derivada ser zero é se seu numerador for zero! Logo:

x 2 + 4 x + 1 = 0

Opa, só resolver essa equação do segundo grau. Usarei Bhaskara para isso:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 4 ± 16 - 4 2 = - 4 ± 2 3 2

Portanto, nossas raízes são:

- 2 + 3

E

- 2 - 3

Prontinho! Esses são os valores de x em que a reta tangente a função nesses pontos é horizontal.

Resposta

- 2 + 3 e - 2 - 3 .

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