Enunciado

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Derive f e encontre o domínio de f

f x = x 1 - ln ⁡ x - 1

Passo 1

Primeiramente, calcularemos a derivada de f , para tal, usaremos a regra do quociente

f ' x = 1 ⋅ 1 - ln ⁡ x - 1 - x ⋅ - 1 x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 = 1 - ln ⁡ x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 = x - 1 ⋅ 1 - ln ⁡ x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 = x - x ln ⁡ x - 1 - 1 + ln ⁡ x - 1 + x 1 - ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ( x - 1 ) = 2 x - x ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 1 - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ( x - 1 )  

Então

f ' x = 2 x - x ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 1 - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ( x - 1 )

Passo 2

Agora, precisamos calcular o domínio da nossa f , para isso, necetissamos atender duas condições

D o m f = x - 1 > 0 1 - ln ⁡ x - 1 ≠ 0

Agora, trabalharemos algebricamente as inequações

D o m f = x > 1 ln ⁡ x - 1 ≠ 1

D o m f = x > 1 x - 1 ≠ e 1

D o m f = x > 1 x ≠ e + 1

Então, podemos escrever D o m ( f )

D o m f = ( 1,1 + e ) ∪ ( 1 + e , ∞ )

Resposta

f ' x = 2 x - x ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 1 - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ( x - 1 )

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