Enunciado

Derive f e encontre o domínio de f

f x = x 1 - ln ⁡ x - 1

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = x 1 - ln ⁡ x - 1

E nosso objetivo é calcular sua derivada e determinar seu domínio.

Parece complicado?

Para derivar essa função, podemos perceber que f é uma fração de funções de x , então podemos aplicar a regra do quociente para facilitar nossa vida.

Além disso, podemos perceber que ln ⁡ x - 1 é uma função composta, então sua derivada pode ser calculada pela regra da cadeia...

Vamos definir essas regras...

A regra do quociente é dada por

f = g h ,     f ' = g ' · h - g · h ' h 2

E a regra da cadeia é dada por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Veja só!

Passo 2

Primeiramente aplicamos a regra do quociente

f ' x = d x d x · 1 - ln ⁡ x - 1 - x · d 1 - ln ⁡ x - 1 d x 1 - ln ⁡ x - 1 2

A derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d x d x · 1 - ln ⁡ x - 1 - x · d 1 d x - d ln ⁡ x - 1 d x 1 - ln ⁡ x - 1 2

Agora na derivada de ln ⁡ x - 1 aplicamos a regra da cadeia

f ' x = d x d x · 1 - ln ⁡ x - 1 - x · d 1 d x - d x - 1 d x · d ln ⁡ u d u 1 - ln ⁡ x - 1 2

Pelo teorema fundamental do calculo e pela regra da potencia, chegamos em

f ' x = 1 · 1 - ln ⁡ x - 1 - x · 0 - 1 · 1 u 1 - ln ⁡ x - 1 2

f ' x = 1 - ln ⁡ x - 1 + x u 1 - ln ⁡ x - 1 2

Voltando u para x - 1

f ' x = 1 - ln ⁡ x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2

Vamos tirar a fração do numerador de f '

f ' x = 1 - ln ⁡ x - 1 x - 1 x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2

f ' x = 1 - ln ⁡ x - 1 x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2

f ' x = 1 - ln ⁡ x - 1 x - 1 + x x - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, precisamos calcular o domínio da nossa f , para isso, necetissamos atender duas condições

D o m f = x - 1 > 0 1 - ln ⁡ x - 1 ≠ 0

Isso porque o argumento de l n tem que ser maior que 0 e no denominador de f não pode ser igual a 0 .

Agora, trabalharemos algebricamente as inequações

D o m f = x > 1 ln ⁡ x - 1 ≠ 1

D o m f = x > 1 x - 1 ≠ e 1

D o m f = x > 1 x ≠ e + 1

Então, podemos escrever D o m ( f )

D o m f = ( 1,1 + e ) ∪ ( 1 + e , ∞ )

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = 2 x - x ln ⁡ x - 1 + ln ⁡ x - 1 - 1 1 - ln ⁡ x - 1 2 ⋅ ( x - 1 )

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