Enunciado

Derive a função

g ( x ) = ln ( x sqrt(x^2 - 1) )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função g ( x ) = ln ( x sqrt(x^2 - 1) ) em relação a x .

Para isso, veja que g ( x ) é composta por uma função l n que possui em seu argumento outra função ( x sqrt(x^2 - 1) ) . Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Observe que nesse caso, temos um produto na função de dentro, x sqrt(x^2 - 1) . Então, também devemos aplicar a regra do produto na derivação:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Lembrando que a derivada de ln x é 1 // x e derivando g ( x ) , aplicando a regra da cadeia, temos:

g^' (x) = ((1)/(x sqrt(x^2 - 1))) * (x sqrt(x^2 - 1))^'

Agora aplicando a regra do produto na função de dentro, vamos ter:

g^' (x) = ((1)/(x sqrt(x^2 - 1))) * [(x)^' * sqrt(x^2 - 1) + x * (sqrt(x^2 - 1))^']

E derivando dentro dos colchetes, obtemos:

g^' (x) = ((1)/(x sqrt(x^2 - 1))) (sqrt(x^2 - 1) + (x)/(2 sqrt(x^2 - 1)) 2 x)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

g^' (x) = ((1)/(x sqrt(x^2 - 1))) (sqrt(x^2 - 1) + (x^2)/(sqrt(x^2 - 1)))

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