Enunciado

Derive a função

y = ln ( e^(- x) + x e^(- x) )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de primeira ordem da função y = ln ( e^(- x) + x e^(- x) ) em relação a x .

Para isso, veja que g ( x ) é composta por uma função l n que possui em seu argumento outra função ( e^(- x) + x e^(- x) ) . Dessa forma, como se trata de uma função composta, deveremos utilizar a regra da cadeia na sua derivação:

[f (g (x))]^' = f^' (g (x)) * g^' ( x )

Então, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro.

Observe que nesse caso, temos um produto na função de dentro, x e^(- x) . Então, também devemos aplicar a regra do produto na derivação:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro iremos simplificar a função:

y = ln (e^(- x) + x e^(- x))

Colocando e^(- x) em evidência:

y = ln [e^(- x) (1 + x)]

E usando as propriedades de logaritmo, podemos escrever:

y = ln e^(- x) + ln (1 + x)

y = - x ln e + ln (1 + x)

Como ln e = 1 , temos:

y = (- x) (1) + ln (1 + x)

E ficamos com:

y = - x + ln (1 + x)

Passo 3

Agora usando a fórmula da derivada (ln u)^' = (1)/(u) e aplicando a regra da cadeia na derivação, vamos ter:

y^' = (- x)^' + (1)/(1 + x) * (1 + x)^'

E derivando, temos:

y^' = - 1 + (1)/(1 + x)

Tirando o MMC pra deixar todo mundo no mesmo denominador:

y^' = (- 1 - x + 1)/(1 + x)

E simplificando, temos:

y^' = (- x)/(1 + x)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = (- x)/(1 + x)

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