Enunciado

( a ) Suponha que f seja uma função injetora, derivável e que sua função inversa f - 1 seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que

f - 1 ' x = 1 f ' ( f - 1 ( x ) )

Desde que o denominador não seja 0 .

( b ) Se f 4 = 5 e f ' 4 = 2 3 , encontre f - 1 ' ( 5 ) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente usar a derivação implícita para mostrar que

f - 1 ' x = 1 f ' ( f - 1 ( x ) )

Desde que o denominador não seja zero. Depois, precisamos encontrar f - 1 ' ( 5 ) , sabendo que f 4 = 5 e f ' 4 = 2 3 .

Vamos lá!

Passo 2

( a ) Se temos uma função inversa y = f - 1 ( x ) , então podemos dizer que:

f y = x

Assim, usando a derivação implícita para encontrar y ' , derivamos ambos os lados da equação:

f ' y y ' = 1

Isolando y ' , temos que:

y ' = 1 f ' y

Substituindo y = f - 1 ( x ) , temos então a seguinte relação:

f - 1 ' x = 1 f ' ( f - 1 ( x ) )

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

( b ) Agora utilizando a fórmula do passo anterior, para encontrar f - 1 ' ( 5 ) , temos:

f - 1 ' 5 = 1 f ' f - 1 5

Mas se f 4 = 5 , a função inversa vai fazer f - 1 5 = 4 . Assim, teremos:

f - 1 ' 5 = 1 f ' 4

Só que o enunciado nos disse que f ' 4 = 2 3 . Então, obtemos:

f - 1 ' 5 = 1 2 3

f - 1 ' 5 = 3 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a   D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

( b ) f - 1 ' 5 = 3 2

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