Enunciado

Nos Exercícios 23-50, determine as derivadas das funções.

45. r = s e n ( θ 2 ) . cos ⁡ ( 2 θ )

Passo 1

Então galera, de início notamos que se trata de um produto entre duas funções, não é mesmo? Sabendo disso, podemos pensar na regra do produto como um dos melhores métodos para resolver essa derivada. Lembrando que a regra do produto nos diz que:

r = g ( θ ) . h ( θ )

∴ r ' = g θ ' . h θ + g θ . ( h θ ) '

Escrevendo quem seria g e quem seria h , depois que encontrarmos suas derivadas, o resultado seria só substituir na regra comentada.

g θ = s e n   ( θ 2 )

h θ = cos ⁡ 2 θ

Passo 2

Para encontrarmos ambas as derivadas, deveremos utilizar a regra da cadeira, beleza? Essa regra nos diz o seguinte:

g θ ' = d g d u × d u d θ

u =   θ 2 ⇒   d u d θ = 2 θ

g u = s e n   u ⇒   d g d u = cos ⁡ u

Substituindo os valores encontrados na regra da cadeia, teremos:

g θ ' = cos ⁡ u . 2 θ

∴ g θ ' = cos ⁡ θ 2 . 2 θ

Passo 3

Assim como já comentado, para derivarmos h , também deveremos utilizar a regra da cadeia (que já foi citada na derivada anterior). Repetindo os passos, teremos:

u = 2 θ   ⇒   d u d θ = 2

h u = cos ⁡ u ⇒   d h d u = - s e n   u

Substituindo os valores na regra da cadeia, teremos o seguinte:

h θ ' = - s e n   u . 2

∴ h θ ' = - 2 . s e n   2 θ

Passo 4

Agora que encontramos g ' e h ' , temos tudo que precisamos, não é?! Substituindo os valores encontrados lá na regra do produto, teremos:

r ' = g θ ' . h θ + g θ . h θ '

r ' = cos ⁡ θ 2 . 2 θ . cos ⁡ 2 θ + s e n   ( θ 2 ) . ( - 2 . s e n   2 θ )

∴ r ' = cos ⁡ θ 2 . 2 θ . cos ⁡ 2 θ - 2 . s e n   θ 2 . s e n   2 θ

Resposta

r ' = cos ⁡ θ 2 . 2 θ . cos ⁡ 2 θ - 2 . s e n   θ 2 . s e n   2 θ

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