Enunciado

Derive a função.

f t = t - 1 t

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

f t = t - 1 t

E pede pra gente encontrar sua derivada.

A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por dois termos que podem ser escritos na forma:

x n

Claro, teremos que fazer algumas mudanças na forma que eles estão escritos, mas encontrando esse formato, poderemos usar a regra básica de derivação, de potências com expoente real, que diz o seguinte:

Se n for um número real qualquer, então

d d x x n = n x n - 1

Essa regra ganha um aplelido carinho de regra do tombo, já que o expoente leva um “tombo” e cai multiplicando na frente da potência que perde uma unidade no expoente.

Bom, então o plano é o seguinte: Vamos mexer um pouco na forma como nossa função está escrita para depois poder usar essa regra.

Vem comigo que te ajudo no passo a passo.

Passo 2

Para reescrever nossa função usaremos a regra de conversão de raiz para expoente fracionário. Se você não está lembrando, a regra é essa aqui:

x b a = x b a

Assim, nossa função se torna:

f t = t 1 2 - t - 1 2

Repara que o segundo termo fica com expoente negativo, já que ele estava no denominador e agora subiu pra o numerador.

Com essa modificação na forma de escrever a função será possível aplicar a regra de derivação que queríamos. Então vamos a ela.

Passo 3

Lembrando que:

d d x x n = n x n - 1

Aplicando a cada termo da nossa função, teremos:

f ' t = 1 2 t 1 2 - 1 - - 1 2 t - 1 2 - 1

Que resolvendo fica:

f ' t = 1 2 t - 1 2 + 1 2 t - 3 2

Agora vamos descer essas potências com expoentes negativos

f ' t = 1 2 1 t 1 2 + 1 2 1 t 3 2

E reescrevendo em forma de raiz, teremos:

f ' t = 1 2 t + 1 2 t 3

E prontinho, nossa derivada foi encontrada.

Resposta

f ' t = 1 2 t + 1 2 t 3

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