Enunciado

Derive a função.

y = (sqrt(x) + x)/(x^2)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = (sqrt(x) + x)/(x^2)

Assim não parece uma função simples de derivar, mas podemos reescreve-la pra simplificar, lembrando que:

(1)/(x) = x^1

sqrt(x) = x^((1)/(2))

Então:

y = (x^((1)/(2)) + x)/(x^2) = (x^((1)/(2)))/(x^2) + (x)/(x^2)

y = x^((1)/(2)) xx x^(- 2) + x xx x^(- 2)

Quando temos uma multiplicação de potências com mesma base o resultado é uma potência com a mesma base elevado a soma dos expoentes:

y = x^((1)/(2) - 2) + x^(1 - 2)

y = x^(- (3)/(2)) + x^(- 1)

Pra a gente derivar esse carinha aqui, vamos usar a regra da potência, se liga na sua forma geral:

f (x) = x^n

f^' (x) = n x^(n - 1)

Agora a gente deriva cada termo da função polinomial usando essa regra!

Passo 2

Agora é só aplicar a regrinha

y = x^(- (3)/(2)) + x^(- 1)

y^' = - (3)/(2) x^(- (3)/(2) - 1) - x^(- 1 - 1)

y^' = - (3)/(2) x^(- (5)/(2)) - x^(- 2) = - (3)/(2 x^((5)/(2))) - (1)/(x^2)

Ficamos com:

y^' = - (3)/(2 x^((5)/(2))) - (1)/(x^2)

Prontinho!

Resposta

y^' = - (3)/(2 x^((5)/(2))) - (1)/(x^2)

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