Enunciado

Derive a função.

y = x   ( x - 1 )

Passo 1

Falaii galerinha, bora lá?

Na teoria do cálculo diferencial, a derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea dessa função em relação a uma variável.

Em outras palavras, a derivada nos diz o quão rápido uma função está mudando em um determinado ponto.

Na sua forma mais básica, a derivada de uma função f ( x ) é denotada por f ' ( x ) ou d y / d x .

Ela nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função em um ponto específico.

Para calcular a derivada da função y = x x - 1 usamos as regras do cálculo, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia.

Se tivermos duas funções u x   e   v ( x ) , a derivada do produto dessas funções, u x ⋅   v ( x ) , é dada por   u ' ( x ) v ( x )   +   u ( x ) v ' ( x ) .

Se tivermos uma função f g x a sua derivada é f ' g x ⋅   g ' ( x ) .

Então, para derivar y   = x ( x   -   1 ) , primeiro reescrevemos a função como   y = x 1 2 ( x - 1 ) , para facilitar o cálculo.

Em seguida, aplicamos a regra do produto, derivando cada parte da função e combinando-as conforme a regra do produto.

Passo 2

Para derivar a função y   = x ( x   -   1 ) , em relação a x ,   vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Primeiro, reescrevemos a função como:

y = x 1 2 x - 1

Agora, podemos aplicar a regra do produto ( u v ) '   =   u ' v   +   u v ' , onde

  u   =   x 1 / 2   e     v   =   ( x   -   1 ) :

  y '   =   ( x 1 / 2 ) ' ( x   -   1 )   +   x 1 / 2 ( x   -   1 ) '  

Passo 3

Vamos calcular as derivadas u   e   v :

Derivada de u = x 1 / 2

  u ' = 1 2 x - 1 / 2

2. Derivada de v = x - 1 :

v ' = 1

Agora, substituímos as derivadas na fórmula da derivada do produto:

y ' = 1 2 x - 1 2 x - 1 + x 1 2 ( 1 )

y ' = 1 2 x x - 1 + x

  y '   =   1 2 x x - 1 + 2 x 2 x

y ' = x - 1 2 x + 2 x 2 x

y '   = x - 1 + 2 x 2 x

y '   = 3 x - 1 2 x

Então, a derivada da função y   = x ( x   -   1 ) , em relação a x é

y '   = 3 x - 1 2 x

Resposta

y '   = 3 x - 1 2 x

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