Enunciado

Sejam g x = e c x + f x e h x = e k x . f ( x ) , onde f 0 = 3 , f ' 0 = 5 e f ' ' 0 = - 2 .

  1. Encontre g ' 0 e g ' ' 0 em termos de c .
  2. Em termos de k , encontre uma equação da reta tangente para o gráfico de h no ponto onde x = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a primeira e a segunda derivada da função g ( x ) , em termos de c . E pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de h ( x ) no ponto x = 0 , em termos de k .

Para o primeiro item, vamos apenas derivar g duas vezes, usando a regra da cadeia. E no segundo item, vamos derivar h , substituir o ponto x = 0 e aplicar na equação da reta:

y - y p = m t g ( x - x p )

Onde x p = 0 , y p = h ( 0 ) e m t g = h ' ( 0 ) , nesse caso.

Vamos lá!

Passo 2

Bom, antes de tudo vamos derivar a função g x = e c x + f x , já que nosso resultado depende dela. Usando a regra da cadeia, temos:

g ' x = c e c x + f ' ( x )

E vamos aproveitar e achar a derivada segunda:

g ' ' x = c ² e c x + f ' ' ( x )

Assim, para o ponto x = 0 , vamos ter:

g ' 0 = c e c ∙ ( 0 ) + f ' ( 0 )

E lembrando que o enunciado nos deu:

f ' 0 = 5

Então, substituindo na nossa primeira derivada, vamos ter:

g ' 0 = c + 5

Da mesma forma, fazendo x = 0 na segunda derivada, teremos:

g ' ' 0 = c ² e c ∙ ( 0 ) + f ' ' ( 0 )

E como o enunciado nos deu:

f ' ' 0 = - 2

Ficamos com:

g ' ' 0 = c ² - 2

Terminamos a letra (a), bora para (b)!

Passo 3

A inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembram?

m t g = h ' ( x )

Então precisamos derivar a função h x = e k x ∙ f ( x ) , e como há uma multiplicação, usamos a Regra do Produto para obter:

h ' x = e k x ∙ f ' x + k e k x f ( x )

No ponto onde x = 0 , temos:

h ' 0 = e k . 0 ∙ f ' 0 + k e k . 0 f ( 0 )

Lembrando que de acordo com o enunciado:

f 0 = 3

Então, ficamos com:

h ' 0 = 5 + 3 k

Sendo assim, quando x = 0 , temos o seguinte coeficiente angular da reta tangente:

m t g = 5 + 3 k

Aí, para descobrir a equação da reta tangente, basta substituirmos tudo na equação que vimos no passo 1 :

y - y p = m t g ( x - x p )

Quando x p = 0 , temos:

y p = h 0 = e k . 0 ∙ f 0 = 3

Então, nossa equação fica:

y - 3 = ( 5 + 3 k ) ( x - 0 )

Reorganizando, isolando y :

y = x 5 + 3 k + 3

E encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

  1. g ' 0 = c + 5     e     g ' ' 0 = c ² - 2 ;
  2. y = x 5 + 3 k + 3 .
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