Enunciado

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Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

f x = x ,       ( 4,2 )

Passo 1

Relembrando a equação para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado:

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 2

Substituindo a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ x + h - x h

Substituindo h = 0 , vemos que não adianta muito.

m = lim h → 0 ⁡ x + h - x h = x + 0 - x 0 = 0 0

Aí temos que fazer algumas mexidas para sair desse problema. Vamos começar multiplicando pelo conjugado do numerador:

m = lim h → 0 ⁡ x + h - x h ∙ x + h + x x + h + x

Lembrando que a + b a - b = a 2 - b 2 :

m = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h x + h + x

m = lim h → 0 ⁡ x + h - x h x + h + x

m = lim h → 0 ⁡ h h x + h + x

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 1 x + h + x = 1 x + 0 + x = 1 2 x

Agora vamos substituir o valor de x dado:

m = 1 2 4 = 1 4

Passo 4

Lembrando da equação da tangente

y - f a = m x - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 2 = 1 4 x - 4

Resposta

m = 1 4

y - 2 = 1 4 x - 4

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