Enunciado

Derive a função.

P ( v ) = ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo.

Este problema temos que encontrar a derivada de mais uma função, sendo que essa é dada pela divisão de duas funções:

P v = ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v

Portanto, vamos usar a regra do quociente que diz que:

f g ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Dessa forma, vamos precisar encontrar a derivada da função de cima e a derivada da função de baixo, para isso basta lembrarmos que a derivada do ln ⁡ x é:

l n ' x = 1 x

E a derivada da constante é:

k ' = 0

Bora lá?

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, teremos:

f g ' x = f ' x g x - f x g ' x g 2 x

Portanto,

P ' v = l n ' v 1 - ln ⁡ v - ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v ' 1 - ln ⁡ v 2

Derivando, teremos:

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v - ln ⁡ v - 1 v 1 - ln ⁡ v 2

E organizando os termos, ficamos com:

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v + 1 v ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v 2

Colocando 1 / v em evidência, temos:

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v + ln ⁡ v 1 - ln ⁡ v 2

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v 2

Portanto,

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v 2

Resposta

P ' v = 1 v 1 - ln ⁡ v 2

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Seja y = x^2 - 3 x . Verifique que x (d^2 y)/(d x^2) - (d y)/(d x) = 3 .
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