Enunciado

Encontre uma função y = a x 2 + b x + c cujo gráfico corte o eixo x no ponto 1 , o eixo y em - 2 e que tenha uma reta tangente de inclinação - 1 no ponto de corte com o eixo y .

Passo 1

Okay, vamos por passos: 1º - a função deve ser do tipo y = a x 2 + b x + c , cortando o eixo x no ponto 1 .

Para cortar o eixo x , o valor de y deve ser zero, ok? Então, ele quer que quando x = 1 , y = 0 , ou seja, que a função tenha o ponto ( 1,0 ) .

Beleza: 2º - deve cortar o eixo y no ponto - 2 , ou seja, seguindo o mesmo raciocínio de antes (agora para o eixo y ), deve conter o ponto ( 0 , - 2 ) .

Por último: 3º - a reta tangente no ponto de corte do eixo y , ou seja, no ponto ( 0 , - 2 ) , deve ter a inclinação - 1 . Lembrando que a inclinação da reta tangente é justamente a derivada da função!! Logo, a derivada da função no ponto ( 0 , - 2 ) deve ser - 1 .

Passo 2

Resolvendo a primeira característica:

y = a x 2 + b x + c

Deve conter o ponto ( 1,0 ) :

0 = a . 1 2 + b . 1 + c a + b + c = 0

Show, temos nossa primeira condição!

Passo 3

Resolvendo a segunda característica:

y = a x 2 + b x + c

Deve conter o ponto ( 0 , - 2 ) :

- 2 = a . 0 2 + b . 0 + c

c = - 2

Opa, já achamos o valor de um dos parâmetros! Nossa equação tá assim, por enquanto:

y = a x 2 + b x - 2

Passo 4

Resolvendo a terceira característica: A reta tangente no ponto ( 0 , - 2 ) deve ter inclinação - 1 e vimos que isso quer dizer que a derivada da função nesse mesmo ponto deve ser - 1 .

Calculando a derivada da função:

y = a x 2 + b x + c

y ' = 2 a x + b

E substituindo o ponto x = 0 , onde a derivada y ' deve ser - 1 :

- 1 = 2 a . 0 + b

b = - 1

Opa, achamos mais um valor. Nossa equação está assim agora:

y = a x 2 - x - 2

Falta só o a agora!

Passo 5

Para encontrar o valor de a , vamos voltar lá na nossa primeira condição, onde achamos que:

a + b + c = 0

Como b = - 1 e c = - 2 :

a - 1 - 2 = 0

a = 3

Agora sim, encontramos tudo! Ufa! E nossa função será:

y = 3 x 2 - x - 2

Resposta

y = 3 x 2 - x - 2

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